o) 1/(x^3 - 2 x^2 - x + 2) <= 1/(x^3 - 3 x^2 - 4 x + 12)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma inequação que compara duas frações com polinômios no denominador:
O conteúdo aqui é de inequações racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar manipular essas frações e analisar os sinais das expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar tudo em um lado da inequação para facilitar a comparação. Subtraímos o segundo lado do primeiro:
Dessa forma, nossa inequação fica igual a zero, e podemos analisar quando a diferença é menor ou igual a zero.

Passo 3

Agora, para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum aqui é o produto dos dois denominadores:
Então, combinando as frações, ficamos com:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 5

Vamos fatorar tanto o numerador quanto os denominadores para identificar os pontos críticos (valores de x que tornam o numerador ou denominador zero).
Numerador:
Denominador 1:
Fatorando:
Denominador 2:
Fatorando:

Passo 6

Agora, nossa inequação fatorada fica:
Vamos simplificar cancelando o termo que aparece no numerador e denominadores, lembrando que :

Passo 7

Identificamos os valores que fazem o numerador ou denominadores zero:
  • Numerador zero:
  • Denominadores zero (valores a serem excluídos):
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos. Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 8

Vamos listar os intervalos e verificar o sinal da expressão em cada um:
Testando um número em cada intervalo:
  1. : A expressão é positiva.
  2. : A expressão é negativa.
  3. : A expressão é positiva.
  4. : A expressão é negativa.
  5. : A expressão é positiva.
  6. : A expressão é negativa.

Resposta

A solução da inequação é o conjunto dos valores de onde a expressão é menor ou igual a zero:

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