Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto indicado:
$(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando: . Essa é uma função que representa uma raiz quadrada, e a gente quer saber como ela se comporta próximo ao ponto .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos saber a inclinação dessa reta no ponto dado. A inclinação é dada pela derivada da função nesse ponto. Vamos calcular a derivada de .
A função pode ser reescrita como . Usando a regra do poder para derivadas, que diz que se , então , temos:

Passo 4

Simplificando a expressão da derivada:

Passo 5

Agora que temos a expressão da derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e passando pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação para a forma padrão :
Adicionando 3 em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(q) ;
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto indicado:
$(k) ;
o)
Calcule os limites: b)