Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto indicado:
$(e)
.
$(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando:
. Essa é uma função que representa uma raiz quadrada, e a gente quer saber como ela se comporta próximo ao ponto
.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos saber a inclinação dessa reta no ponto dado. A inclinação é dada pela derivada da função nesse ponto. Vamos calcular a derivada de
.
A função
pode ser reescrita como
. Usando a regra do poder para derivadas, que diz que se
, então
, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão da derivada:
Passo 5
Agora que temos a expressão da derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação para a forma padrão
:
Adicionando 3 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(q) ;
$(q)
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(k) ;
$(k)
o)
Calcule os limites: b)