Calcule os limites: b) lim x 2 raizx-1-1x^2-4

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 2 raizx-1-1x^2-4. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites na Matemática, especificamente lidando com expressões que resultam em formas indeterminadas. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular a expressão para eliminar a indeterminação utilizando a técnica de racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o valor do numerador e do denominador quando x se aproxima de 2:
  • Numerador: raiz2-1 - 1 = raiz1 - 1 = 1 - 1 = 0
  • Denominador: 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0
Como obtemos 00, temos uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos aplicar a técnica de racionalização no numerador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A expressão conjugada de raizx-1 - 1 é raizx-1 + 1. Assim, multiplicamos:
raizx-1-1x^2-4 times raizx-1+1raizx-1+1

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores:
  • Numerador: (raizx-1 - 1)(raizx-1 + 1) = (raizx-1)^2 - (1)^2 = x - 1 - 1 = x - 2
  • Denominador: (x^2 - 4)(raizx-1 + 1)
Então, a expressão fica:
x - 2(x^2 - 4)(raizx-1 + 1)

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 4, que é uma diferença de quadrados:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Substituindo na expressão:
x - 2(x - 2)(x + 2)(raizx-1 + 1)

Passo 6

Observamos que (x - 2) está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:
1(x + 2)(raizx-1 + 1)

Passo 7

Agora, substituímos x por 2 na expressão simplificada:
1(2 + 2)(raiz2-1 + 1) = 14 times (1 + 1) = 14 times 2 = 18

Resposta

O limite é 18.

Exercícios relacionados