Calcule os limites: b)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites na Matemática, especificamente lidando com expressões que resultam em formas indeterminadas. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular a expressão para eliminar a indeterminação utilizando a técnica de racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o valor do numerador e do denominador quando
se aproxima de 2:
- Numerador:
- Denominador:
Como obtemos
, temos uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos aplicar a técnica de racionalização no numerador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A expressão conjugada de
é
. Assim, multiplicamos:
Passo 4
Multiplicando os numeradores e denominadores:
- Numerador:
- Denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o denominador
, que é uma diferença de quadrados:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Observamos que
está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:
Passo 7
Agora, substituímos
por 2 na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
o)
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto indicado:
$(e) .
$(e)
Calcule a derivada de
:
(a)
(a)
Seja
uma função tal que
para todo
. Mostre que
é diferenciável em 0 e que
. (Sugestão: use o teorema do sanduíche)