is not linear in the variable
. But its reciprocal
is recognized as linear in the variable
. You should verify that the integrating factor
and integration by parts yield the explicit solution
for the second equation. This expression is then an implicit solution of the first equation
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
A equação não é linear em relação a
. Mas se a gente inverter os lados, ficando com
, conseguimos transformar ela numa equação linear em
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e o uso do fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos inverter a equação original para obter
. Quando fazemos isso, temos:
Essa nova equação é linear em
, porque pode ser escrita na forma:
Aqui,
é a função que queremos encontrar em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial linear. Uma equação linear tem a forma geral:
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por ele:
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Já a integral do lado direito requer o uso da integração por partes.
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Vamos fazer isso passo a passo:
-
Primeira integração por partes:Aplicando a fórmula
: -
-
Segunda integração por partes:Aplicando novamente:
-
-
Somando tudo:Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa equação original após a integração:
Agora, vamos multiplicar todos os termos por
para isolar
:
Resposta
A solução explícita da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária. Essa expressão também é uma solução implícita da equação original
.
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