d yd x=1x+y^2
is not linear in the variable y. But its reciprocal
d xd y=x+y^2 or d xd y-x=y^2
is recognized as linear in the variable x. You should verify that the integrating factor e^integral(-1) d y=e^-y and integration by parts yield the explicit solution x=-y^2-2 y-2+c e^y for the second equation. This expression is then an implicit solution of the first equation

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
dydx = 1x + y^2
A equação não é linear em relação a . Mas se a gente inverter os lados, ficando com , conseguimos transformar ela numa equação linear em . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e o uso do fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos inverter a equação original para obter dxdy = x + y^2 . Quando fazemos isso, temos:
dxdy - x = y^2
Essa nova equação é linear em , porque pode ser escrita na forma:
Aqui, é a função que queremos encontrar em termos de .

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial linear. Uma equação linear tem a forma geral:
dxdy + P(y) x = Q(y)
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
  • mu(y) = e^integral P(y) , dy
  • mu(y) = e^integral -1 , dy = e^-y
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante e^-y dxdy - e^-y x = e^-y y^2 , multiplicamos toda a equação original por ele:
ddy ( e^-y x ) = e^-y y^2
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto . Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a integral ddy ( e^-y x ) , dy = integral e^-y y^2 , dy :
A integral do lado esquerdo simplifica para . Já a integral do lado direito requer o uso da integração por partes.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral e^-y y^2 , dy = -y^2 e^-y + integral 2y e^-y , dy usando integração por partes. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Primeira integração por partes:
    • integral 2y e^-y , dy = -2y e^-y + integral 2 e^-y , dy = -2y e^-y - 2 e^-y integral e^-y y^2 , dy = -y^2 e^-y - 2y e^-y - 2 e^-y + C
    Aplicando a fórmula :
  2. Segunda integração por partes:
    Aplicando novamente:
  3. Somando tudo:
    Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa equação original após a integração:
e^-y x = -y^2 e^-y - 2y e^-y - 2 e^-y + C
Agora, vamos multiplicar todos os termos por x = -y^2 - 2y - 2 + C e^y para isolar :

Resposta

A solução explícita da equação diferencial é:
x = -y^2 - 2y - 2 + C e^y
Onde é uma constante arbitrária. Essa expressão também é uma solução implícita da equação original .

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