Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, vamos identificar os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos usar o conceito básico de derivada e analisar onde a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada da nossa função.
Passo 3
Vamos aplicar a definição na nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, encontramos o denominador comum para subtrair as frações:
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Passo 5
Podemos simplificar o
presente no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora, tiramos o limite quando
se aproxima de 0:
Passo 7
Por fim, vamos determinar os domínios:
-
Domínio da função
: A função está definida para todos os onde o denominador não é zero. Portanto, . -
Domínio da derivada
: A derivada também está definida para todos os onde o denominador não é zero. Como nunca é zero a não ser quando , o domínio é o mesmo da função original: .
Resposta
A derivada da função é
.
Domínio da função
:
e
.
Domínio da derivada
:
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
is not linear in the variable
. But its reciprocal
is recognized as linear in the variable
. You should verify that the integrating factor
and integration by parts yield the explicit solution
for the second equation. This expression is then an implicit solution of the first equation
Suponha que uma soma de dinheiro é depositada em um fundo de banco que paga juros à taxa anual
. O valor
, do investimento em qualquer tempo
depende da frequência com que o interesse é agravado tão bem como a taxa de juros. As instituições financeiras têm várias políticas relativas à composição: alguns compostos mensalmente, alguns semanal, alguns até diariamente. Se assumirmos que a composição é realizada continuamente, então podemos criar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros vezes o valor atual do investimento
. Assim, a
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros
é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que nós também sabemos o valor do investimento em um determinado tempo, digamos,
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio na conta em qualquer tempo
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio
a) Encontre
derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter
em termos de
.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por na solução para a parte (a).
I) ;
b) Resolva a equação explicitamente isolando
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
I)