Calcule a integral integral(e^t i+2 t j+1t k) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(e^t i + 2 t j + 1t k) dt. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais de funções vetoriais. Para resolver, vamos integrar cada componente do vetor separadamente usando regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente na direção i: integral e^t dt.
Explicação: A função e^t é uma exponencial, e a integral de e^t em relação a t é simplesmente e^t.
Então,
integral e^t dt = e^t + C1

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente na direção j: integral 2 t dt.
Explicação: Aqui temos uma função polinomial de primeiro grau, 2t. A regra de integração para t^n é t^n+1n+1. No nosso caso, n = 1.
Então,
integral 2 t dt = 2 cdot t^22 + C2 = t^2 + C2

Passo 4

Por fim, vamos integrar a componente na direção k: integral 1t dt.
Explicação: A função 1t é uma função logarítmica. A integral de 1t em relação a t é o logaritmo natural de t.
Então,
integral 1t dt = ln|t| + C3

Resposta

Combinando todas as componentes integradas, a integral fica:
integral(e^t i + 2 t j + 1t k) dt = e^t i + t^2 j + ln|t| k + C
onde C = C1 i + C2 j + C3 k representa a constante de integração.

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