Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
c)
;
c)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a derivada da função
usando a definição de derivada. Aqui, estamos falando de cálculo diferencial, que estuda como as funções mudam. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada, que basicamente calcula a taxa de variação da função em um ponto específico.
Passo 2
A definição de derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Primeiro, calculemos
:
Vamos expandir
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na definição da derivada:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o
do numerador:
Cancelando o
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada da função
é
.
Os domínios são:
- Função
: Definida para todos os números reais, ou seja, . - Derivada
: Também definida para todos os números reais, .
Exercícios relacionados
Determine o limite
Determine as seguintes derivadas:
, em que
, em que
is not linear in the variable
. But its reciprocal
is recognized as linear in the variable
. You should verify that the integrating factor
and integration by parts yield the explicit solution
for the second equation. This expression is then an implicit solution of the first equation