(1/y^2 + 2*y^2/x^3) dx - 2*(x/y^3 + y/x^2) dy = 0
R. x^3 - y^4 = c x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Esse tipo de equação está dentro da matéria de Equações Diferenciais Exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e da nossa equação, que são os coeficientes de e respectivamente:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Vemos que:
Então, a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função de que aparece na integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando os termos, percebemos que , então é uma constante.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Onde é uma constante.

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para deixar em termos mais simples. Multiplicando tudo por :

Resposta

Exercícios relacionados