Assinale a alternativa correta para os vetores velocidade e aceleração da partícula que tem equação vetorial
r(t) = 2 cos(t) i + 5 sen(t) j + 5 k no instante t = pi / 4.
a
v = -raiz(2) * i - (5 * raiz(2)) / 2 * j e a = -raiz(2) * i - (5 * raiz(2)) / 2 * j
© b.
v = -raiz(2) * i + (5 * raiz(2)) / 2 * j e a = -raiz(2) * i - (5 * raiz(2)) / 2 * jc.
v = -raiz(2 i) + (5 * raiz(2)) / 2 * j e a = raiz(2) * i - (5 * raiz(2)) / 2 * jd.
v = raiz(2) * i + (5 * raiz(2)) / 2 * j e a = -raiz(2) * i + (5 * raiz(2)) / 2 * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar os vetores velocidade ( ) e aceleração ( ) de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada pela equação vetorial:
Precisamos encontrar esses vetores no instante . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas de funções vetoriais, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo :
Calculando a derivada de cada componente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que é constante.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo :
Calculando a derivada de cada componente de :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 4

Agora que temos as expressões para e , vamos calcular seus valores no instante .
Primeiro, vamos calcular e :
Substituindo esses valores nas expressões de e :

Resposta

A alternativa correta �� a b:

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