Calcule integralC y d x+z d y+2 x d z em que a curva C é o segmento de reta do ponto A=(0,0,0) a B=(1,2,3).
Assinale a alternativa correta:a. 14
( ) b. 7C. -9d. 17
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha integralC y, dx + z, dy + 2x, dz, onde a curva C é o segmento de reta que vai do ponto A=(0,0,0) até o ponto B=(1,2,3). Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é uma reta que vai de A a B, podemos usar uma parametrização linear:
r(t) = (1- t)A + tB = (0 + t, 0 + 2t, 0 + 3t)
Então, temos:
x(t) = t, y(t) = 2t, z(t) = 3t, com t in [0,1]

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x(t), y(t) e z(t) em relação a t para substituir na integral:
dxdt = 1, dydt = 2, dzdt = 3
Portanto:
dx = 1, dt, dy = 2, dt, dz = 3, dt

Passo 4

Substituímos as parametrizações na integral original:
integralC y, dx + z, dy + 2x, dz = integral0^1 (2t)(1) + (3t)(2) + 2(t)(3) , dt
Simplificando dentro da integral:
= integral0^1 2t + 6t + 6t , dt = integral0^1 14t , dt

Passo 5

Agora, integramos 14t em relação a t:
integral0^1 14t , dt = 14 cdot t^22 |0^1 = 7t^2 |0^1
Calculando os limites:
7(1)^2 - 7(0)^2 = 7 - 0 = 7

Resposta

A alternativa correta é b. 7

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