Calcular a massa de um fio delgado que tem a forma da hélice r(t) = 2 cos(t) i + 2 sen(t) j + 5t k, 0 <= t <= 2 pi se a densidade no ponto (x, y, z) é x^2 + y^2 + z^2.
Assinale a alternativa correta:a. raiz(29) * (8 * pi + (20 / 5) * pi^3) unidades de massab. raiz(29) * (4 * pi + (20 / 3) * pi^3) unidades de massa
(
c. raiz(29) * (8 * pi + (20 / 3) * pi^3) unidades de massad. raiz(29) * (8 * pi - (20 / 3) * pi^3) unidades de massa
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a massa de um fio delgado com a forma de uma hélice dada pela função paramétrica no intervalo . A densidade em cada ponto é dada por . Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo integral, especificamente a integral de linha para massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa de um fio delgado é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento do fio. Matematicamente, isso é expresso como:
Aqui, é a densidade e é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a hélice para encontrar . A função já está dada, então calculamos a derivada em relação a :
O elemento de comprimento é a norma desse vetor derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos substituir a densidade na expressão da massa. Sabemos que:
Usando a parametrização :
Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos e na integral da massa:
Fatorando que é constante:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Portanto:

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta para encontrar a massa:
Simplificando, percebemos que a opção que mais se aproxima dessa expressão é a alternativa c:

Resposta

c. raiz(29) * (8 * pi + (20 / 3) * pi^3) unidades de massa

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