Calcular a massa de um fio delgado que tem a forma da hélice se a densidade no ponto é .
Assinale a alternativa correta:a. unidades de massab. unidades de massa
(
c. unidades de massad. unidades de massa
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a massa de um fio delgado com a forma de uma hélice dada pela função paramétrica no intervalo . A densidade em cada ponto é dada por . Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo integral, especificamente a integral de linha para massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa de um fio delgado é dada pela integral da densidade ao longo do comprimento do fio. Matematicamente, isso é expresso como:
Aqui, é a densidade e é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a hélice para encontrar . A função já está dada, então calculamos a derivada em relação a :
O elemento de comprimento é a norma desse vetor derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir a densidade na expressão da massa. Sabemos que:
Usando a parametrização :
Então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos e na integral da massa:
Fatorando que é constante:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, substituímos de volta para encontrar a massa:
Simplificando, percebemos que a opção que mais se aproxima dessa expressão é a alternativa c:
Resposta
c. raiz(29) * (8 * pi + (20 / 3) * pi^3) unidades de massa