R.
R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Exatas. A gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Chamamos essas funções de
e
respectivamente:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como as duas derivadas são iguais (
), isso confirma que a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Para determinar
, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a
:
Resolvendo para
:
Integrando
em relação a
:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a função
fica:
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica
: