(sen(2x - y)) dx + (1/(2 * raiz(y)) - x) dy = 0
R. sen^2(x) - x*y + raiz(y) = c

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Exatas. A gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . Chamamos essas funções de e respectivamente:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como as duas derivadas são iguais ( ), isso confirma que a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de . Para determinar , vamos calcular a derivada de em relação a e igualar a :
Resolvendo para :
Integrando em relação a :

Passo 5

Agora, juntando tudo, a função fica:
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica :

Resposta

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