(7-1y) Use a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos entender como usar esse teorema para derivar uma integral que tem um limite superior que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, lembre-se do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte I, que basicamente nos diz que se temos uma função definida como uma integral com um limite superior que depende de , a derivada dessa função é a função integranda avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada desse limite.
Matematicamente, se , então .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar :

Passo 5

Agora, aplicamos o teorema:

Resposta

A derivada da função é

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então, a equação tem um fator integrante na forma . Dê a fórmula geral pra .
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial .
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)
(a) Esboce o campo de direção usando o software de computador ou o método das isóclinas.
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja, ], o que você pode dizer sobre a população limitante ?
© Se , o que é ?
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?
.
(a) Calcule .
(b) Calcule .
© Determine e esboce o domínio de .
(d) Determine a imagem de .