então, a equação
tem um fator integrante na forma
. Dê a fórmula geral pra
.
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial
.
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial na forma
e queremos encontrar um fator integrante
que nos ajude a resolver a equação. Isso está relacionado ao conceito de fatores integrantes em equações diferenciais exatas. Para isso, vamos precisar usar a expressão que relaciona as derivadas parciais de
e
com o fator integrante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um fator integrante. Em uma equação diferencial
, se ela não for exata, ou seja, se
, podemos multiplicar toda a equação por um fator
para torná-la exata. A condição para
ser um fator integrante é:
Passo 3
Dado no enunciado, temos a relação:
Isso sugere que o fator integrante
depende apenas do produto
. A fórmula geral para
pode ser obtida integrando
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao item (b) do exercício. A equação dada é:
Primeiro, identificamos
e
. Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, usando a fórmula geral para
:
Portanto, o fator integrante é
.
Passo 6
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação multiplicada é exata. Vamos integrar
em relação a
:
Derivando essa expressão em relação a
e igualando a
:
Como
não depende de
, ajustamos para que
e
desapareçam, indicando que a função potencial é:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, a solução particular é:
Exercícios relacionados
Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)
(a)
e determine seu valor máximo.
(7-1y) Use a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
(a) Esboce o campo de direção usando o software de computador ou o método das isóclinas.
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja, ], o que você pode dizer sobre a população limitante
?
© Se , o que é
?
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja,
© Se
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?