então, a equação tem um fator integrante na forma . Dê a fórmula geral pra .
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial na forma e queremos encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver a equação. Isso está relacionado ao conceito de fatores integrantes em equações diferenciais exatas. Para isso, vamos precisar usar a expressão que relaciona as derivadas parciais de e com o fator integrante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um fator integrante. Em uma equação diferencial , se ela não for exata, ou seja, se , podemos multiplicar toda a equação por um fator para torná-la exata. A condição para ser um fator integrante é:

Passo 3

Dado no enunciado, temos a relação:
Isso sugere que o fator integrante depende apenas do produto . A fórmula geral para pode ser obtida integrando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao item (b) do exercício. A equação dada é:
Primeiro, identificamos e . Vamos calcular :

Passo 5

Agora, usando a fórmula geral para :
Portanto, o fator integrante é .

Passo 6

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação multiplicada é exata. Vamos integrar em relação a :
Derivando essa expressão em relação a e igualando a :
Como não depende de , ajustamos para que e desapareçam, indicando que a função potencial é:

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução particular é:

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Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)
e determine seu valor máximo.
(7-1y) Use a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
(a) Esboce o campo de direção usando o software de computador ou o método das isóclinas.
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja, ], o que você pode dizer sobre a população limitante ?
© Se , o que é ?
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?