partial N / partial x-partial M / partial yx M-y N=H(x y)
então, a equação M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 tem um fator integrante na forma mu(x y). Dê a fórmula geral pra mu(x y).
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
(3 y+2 x y^2) d x+(x+2 x^2 y) d y=0
satisfazendo a condição inicial y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial na forma e queremos encontrar um fator integrante que nos ajude a resolver a equação. Isso está relacionado ao conceito de fatores integrantes em equações diferenciais exatas. Para isso, vamos precisar usar a expressão que relaciona as derivadas parciais de e com o fator integrante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um fator integrante. Em uma equação diferencial partial (mu M)partial y = partial (mu N)partial x , se ela não for exata, ou seja, se , podemos multiplicar toda a equação por um fator para torná-la exata. A condição para ser um fator integrante é:

Passo 3

Dado no enunciado, temos a relação:
partial Npartial x - partial Mpartial yx M - y N = H(xy)
Isso sugere que o fator integrante mu(xy) = exp( integral H(xy) , d(xy) ) depende apenas do produto . A fórmula geral para pode ser obtida integrando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula ao item (b) do exercício. A equação dada é:
(3y + 2x y^2) dx + (x + 2x^2 y) dy = 0
Primeiro, identificamos partial Npartial x = 1 + 4x y e partial Mpartial y = 3 + 4x y . Vamos calcular partial Npartial x - partial Mpartial y = (1 + 4xy) - (3 + 4xy) = -2 :
xM - yN = x(3y + 2x y^2) - y(x + 2x^2 y) = 3xy + 2x^2 y^2 - xy - 2x^2 y^2 = 2xy
H(xy) = -22xy = -1xy

Passo 5

Agora, usando a fórmula geral para mu(xy) = exp( integral -1xy cdot y , dx ) = exp( integral -1x , dx ) = exp(-ln x) = x^-1 :
Portanto, o fator integrante é .

Passo 6

Multiplicando a equação original pelo fator integrante ( 3yx + 2y^2 ) dx + ( 1 + 2x y ) dy = 0 :
integral M' , dx = 3y ln x + 2y^2 x + g(y)
Agora, a equação multiplicada é exata. Vamos integrar 3 ln x + 4xy + g'(y) = 1 + 2x y em relação a g'(y) = 1 - 3 ln x - 2x y :
3y ln x + 2y^2 x = C
Derivando essa expressão em relação a e igualando a :
Como não depende de , ajustamos para que e desapareçam, indicando que a função potencial é:

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
3y ln x + 2x y^2 = C
Aplicando a condição inicial 3(1) ln 1 + 2(1)(1)^2 = C Rightarrow 0 + 2 = C Rightarrow C = 2 :
3y ln x + 2x y^2 = 2
Portanto, a solução particular é:

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