Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Nosso objetivo é verificar se essa é uma Equação de Bernoulli e, se for, resolvê-la usando uma substituição apropriada. Para isso, vamos precisar conhecer a forma geral das Equações de Bernoulli e aplicar uma técnica de substituição que simplifica a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para ver se ela se encaixa na forma de uma Equação de Bernoulli. A Equação de Bernoulli tem a forma:
Vamos reorganizar a nossa equação:
Agora, identificamos que , e . Portanto, a equação dada é uma Equação de Bernoulli.

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, usamos a substituição . No nosso caso, , então:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituímos da equaç��o original na expressão da derivada de :
Sabemos que:
Então:
Rearranjando, temos uma equação linear em :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação linear . Para isso, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo integra para:
Para o lado direito, usamos integração por partes:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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e determine seu valor máximo.
Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
então, a equação tem um fator integrante na forma . Dê a fórmula geral pra .
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial .
(7-1y) Use a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.