Verifique que as equações abaixo são Equações de Bernoulli e resolva-as usando uma substituição adequada.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é verificar se essa é uma Equação de Bernoulli e, se for, resolvê-la usando uma substituição apropriada. Para isso, vamos precisar conhecer a forma geral das Equações de Bernoulli e aplicar uma técnica de substituição que simplifica a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para ver se ela se encaixa na forma de uma Equação de Bernoulli. A Equação de Bernoulli tem a forma:
Vamos reorganizar a nossa equação:
Agora, identificamos que
,
e
. Portanto, a equação dada é uma Equação de Bernoulli.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, usamos a substituição
. No nosso caso,
, então:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equaç��o original na expressão da derivada de
:
Sabemos que:
Então:
Rearranjando, temos uma equação linear em
:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação linear
. Para isso, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo integra para:
Para o lado direito, usamos integração por partes:
Portanto:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
e determine seu valor máximo.
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)
então, a equação
tem um fator integrante na forma
. Dê a fórmula geral pra
.
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial
.
(7-1y) Use a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.