f(x, y) = ln(x + y - 1).
(a) Calcule f(1,1).
(b) Calcule f(c, 1).
© Determine e esboce o domínio de f.
(d) Determine a imagem de f.

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício. A função dada é . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e logaritmos. Para calcular , precisamos substituir e por 1 na função.

Passo 2

Substituindo os valores na função:
Sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (b). Queremos calcular . Novamente, usamos a função . Aqui, substituímos por e por 1.

Passo 4

Substituindo os valores na função:
Isso nos dá a expressão , desde que porque o logaritmo natural só é definido para argumentos positivos.

Passo 5

Vamos para a parte ©, onde precisamos determinar e esboçar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida.

Passo 6

Para a função logaritmo natural , o argumento deve ser maior que zero:
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que .

Passo 7

Para esboçar o domínio, desenhamos a linha no plano e consideramos a região acima dessa linha, já que deve ser maior que 1.

Passo 8

Finalmente, vamos resolver a parte (d), que pede para determinar a imagem da função . A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.

Passo 9

Sabemos que o logaritmo natural está definido para e que seu valor pode ser qualquer número real:
Como e , o argumento do logaritmo pode ser qualquer número positivo, fazendo com que possa assumir qualquer valor real.

Resposta

A imagem de é , ou seja, todos os números reais.

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