.
(a) Calcule
.
(b) Calcule
.
© Determine e esboce o domínio de
.
(d) Determine a imagem de
.
(a) Calcule
(b) Calcule
© Determine e esboce o domínio de
(d) Determine a imagem de
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício. A função dada é
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e logaritmos. Para calcular
, precisamos substituir
e
por 1 na função.
Passo 2
Substituindo os valores na função:
Sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte (b). Queremos calcular
. Novamente, usamos a função
. Aqui, substituímos
por
e
por 1.
Passo 4
Substituindo os valores na função:
Isso nos dá a expressão
, desde que
porque o logaritmo natural só é definido para argumentos positivos.
Passo 5
Vamos para a parte ©, onde precisamos determinar e esboçar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida.
Passo 6
Para a função logaritmo natural
, o argumento
deve ser maior que zero:
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pares
tais que
.
Passo 7
Para esboçar o domínio, desenhamos a linha
no plano
e consideramos a região acima dessa linha, já que
deve ser maior que 1.
Passo 8
Finalmente, vamos resolver a parte (d), que pede para determinar a imagem da função
. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Passo 9
Sabemos que o logaritmo natural
está definido para
e que seu valor pode ser qualquer número real:
Como
e
, o argumento do logaritmo pode ser qualquer número positivo, fazendo com que
possa assumir qualquer valor real.
Resposta
A imagem de
é
, ou seja, todos os números reais.