(a) Esboce o campo de direção usando o software de computador ou o método das isóclinas.
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja,
], o que você pode dizer sobre a população limitante
?
© Se
, o que é
?
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja,
© Se
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Aqui,
representa a população em função do tempo
. O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente aquelas que modelam o crescimento populacional. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender conceitos como campo de direção, isóclinas, limites de funções e comportamento de soluções de equações diferenciais.
Passo 2
Parte (a): Esboçar o campo de direção usando o método das isóclinas.
As isóclinas são curvas onde a derivada
é constante. Para esboçar o campo de direção, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero, ou seja:
Resolvendo para
:
Esses valores de
são chamados de pontos de equilíbrio. No campo de direção, quando
,
; quando
,
; quando
,
. Isso nos ajuda a desenhar setas indicando a direção do crescimento ou diminuição da população em diferentes intervalos de
.
Passo 3
Parte (b): Se a população inicial é 3000 (
), determinar
.
Primeiro, notamos que a população inicial
está acima do ponto de equilíbrio
. Observando o campo de direção, quando
,
, o que significa que a população tende a diminuir. À medida que
aumenta,
vai se aproximar do ponto de equilíbrio.
Portanto,
Passo 4
Parte ©: Se
, determinar
.
Aqui, a população inicial
está abaixo do ponto de equilíbrio
. No intervalo
,
, o que indica que a população está crescendo. Conforme
aumenta,
se aproxima do ponto de equilíbrio.
Portanto,
Passo 5
Parte (d): Uma população de 2000 pode diminuir para 800?
Vamos interpretar os valores dados. Se considerarmos
e
, notamos que ambos são maiores que
. No campo de direção, para
,
, ou seja, a população tende a diminuir. Portanto, uma população começando em 2000 vai diminuir ao longo do tempo em direção ao ponto de equilíbrio de
.
Entretanto, queremos saber se especificamente a população pode chegar a 800. Como 800 é também maior que
, o comportamento será de decrescimento contínuo. Logo, sim, é possível que a população diminua de 2000 para 800 à medida que o tempo aumenta.
Resposta
Sim, uma população de 2000 pode diminuir para 800 ao longo do tempo, já que ambos os valores estão acima do ponto de equilíbrio
, e a tendência é que a população diminua continuamente até se estabilizar nesse ponto.
Exercícios relacionados
(7-1y) Use a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
então, a equação
tem um fator integrante na forma
. Dê a fórmula geral pra
.
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
(b) Use a sua resposta no item (a) para encontrar uma solução implícita para
satisfazendo a condição inicial
.
(a) Calcule
(b) Calcule
© Determine e esboce o domínio de
(d) Determine a imagem de
(a) Use o método da separação de variáveis para mostrar que
é uma solução.
(b) Mostre que o PVI com
é satisfeito para
por
para
© Agora mostre que a função constante também satisfaz o PVI dado no item (b). Assim, esse PVI não tem uma solução única.
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)
(b) Mostre que o PVI
© Agora mostre que a função constante
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução