d pd t=3 p-2 p^2
(a) Esboce o campo de direção usando o software de computador ou o método das isóclinas.
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja, p(0)=3 ], o que você pode dizer sobre a população limitante lim t infty p(t) ?
© Se p(0)=0,8, o que é lim t infty p(t) ?
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
d pd t = 3 p - 2 p^2
Aqui, representa a população em função do tempo . O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente aquelas que modelam o crescimento populacional. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender conceitos como campo de direção, isóclinas, limites de funções e comportamento de soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Parte (a): Esboçar o campo de direção usando o método das isóclinas.
As isóclinas são curvas onde a derivada 3 p - 2 p^2 = 0 é constante. Para esboçar o campo de direção, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero, ou seja:
p(3 - 2 p) = 0 p = 0 ou p = 32
Resolvendo para :
Esses valores de são chamados de pontos de equilíbrio. No campo de direção, quando , ; quando , ; quando , . Isso nos ajuda a desenhar setas indicando a direção do crescimento ou diminuição da população em diferentes intervalos de .

Passo 3

Parte (b): Se a população inicial é 3000 ( limt to infty p(t) = 32 ), determinar .
Primeiro, notamos que a população inicial está acima do ponto de equilíbrio . Observando o campo de direção, quando , , o que significa que a população tende a diminuir. À medida que aumenta, vai se aproximar do ponto de equilíbrio.
Portanto,

Passo 4

Parte ©: Se limt to infty p(t) = 32 , determinar .
Aqui, a população inicial está abaixo do ponto de equilíbrio . No intervalo , , o que indica que a população está crescendo. Conforme aumenta, se aproxima do ponto de equilíbrio.
Portanto,

Passo 5

Parte (d): Uma população de 2000 pode diminuir para 800?
Vamos interpretar os valores dados. Se considerarmos e , notamos que ambos são maiores que . No campo de direção, para , , ou seja, a população tende a diminuir. Portanto, uma população começando em 2000 vai diminuir ao longo do tempo em direção ao ponto de equilíbrio de .
Entretanto, queremos saber se especificamente a população pode chegar a 800. Como 800 é também maior que , o comportamento será de decrescimento contínuo. Logo, sim, é possível que a população diminua de 2000 para 800 à medida que o tempo aumenta.

Resposta

Sim, uma população de 2000 pode diminuir para 800 ao longo do tempo, já que ambos os valores estão acima do ponto de equilíbrio , e a tendência é que a população diminua continuamente até se estabilizar nesse ponto.

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