[2.0pt ] Uma partícula se move no plano x y, de tal forma que sua posição no tempo t seja dado pela cicloide de equação
r(t) = (t - sen(t)) i + (1 - cos(t)) j
Encontre os valores máximo e mínimo de |v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no plano xy, e a posição dela no tempo t é dada pela cicloide:
O que a gente precisa encontrar são os valores máximo e mínimo da velocidade dessa partícula, que é representada por |v|. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a velocidade e depois identificar seus extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) é a derivada da posição r(t) em relação ao tempo t. Então, vamos calcular:

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade escalar |v|, que é a magnitude da velocidade, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que pode ser simplificado:
E como , então:
Portanto:
Como estamos lidando com velocidades, consideramos apenas valores positivos, então:

Passo 4

Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo de , vamos analisar a função . Sabemos que a função seno varia entre -1 e 1, mas como temos o módulo, consideramos apenas de 0 a 1.
Então:
  • O valor mínimo de ocorre quando , ou seja, .
  • O valor máximo ocorre quando , ou seja, .

Resposta

Os valores de |v| variam entre 0 e . Portanto:
  • Valor mínimo de |v|: 0
  • Valor máximo de |v|:

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