[2.0pt ] Uma partícula se move no plano , de tal forma que sua posição no tempo seja dado pela cicloide de equação
Encontre os valores máximo e mínimo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no plano , e a posição dela no tempo é dada pela cicloide:
O que a gente precisa encontrar são os valores máximo e mínimo da velocidade dessa partícula, que é representada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar a velocidade e depois identificar seus extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo . Então, vamos calcular:

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade escalar , que é a magnitude da velocidade, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que pode ser simplificado:
E como , então:
Portanto:
Como estamos lidando com velocidades, consideramos apenas valores positivos, então:

Passo 4

Agora, para encontrar os valores máximo e mínimo de , vamos analisar a função . Sabemos que a função seno varia entre -1 e 1, mas como temos o módulo, consideramos apenas de 0 a 1.
Então:
  • O valor mínimo de ocorre quando , ou seja, .
  • O valor máximo ocorre quando , ou seja, .

Resposta

Os valores de variam entre e . Portanto:
  • Valor mínimo de :
  • Valor máximo de :

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
[2.0pt ] Uma bola de beisebol é atingida quando está 3 pés acima do solo. Ela deixa o taco com módulo de velocidade inicial de 152 pés , formando um ângulo de com a horizontal. No instante em que a bola é atingida, uma rajada de vento instantânea sopra na direção horizontal diretamente oposta à que a bola está tomando ao campo externo, adicionando um componente de (pés/s) à velocidade inicial da bola ( 8,8 pés/s milhas/hora ).
(a) Qual a altura máxima atingida pela bola e quando ela atinge essa altura?
(b) Assumindo que a bola não é pega, encontre seu alcance e tempo de voo.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.