Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Precisamos determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Essa série é semelhante à série harmônica , que sabemos ser divergente. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente utilizando o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. A sequência é decrescente.
  3. .
No nosso caso, .
  1. Os termos são positivos.
  2. Conforme aumenta, aumenta, então diminui.
  3. .
Como todas as condições são satisfeitas, a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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