Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Precisamos determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Essa série é semelhante à série harmônica , que sabemos ser divergente. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente utilizando o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se:
Os termos são positivos.
A sequência é decrescente.
.
No nosso caso, .
Os termos são positivos.
Conforme aumenta, aumenta, então diminui.
.
Como todas as condições são satisfeitas, a série é condicionalmente convergente.