Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da razão. Precisamos entender um pouco sobre séries infinitas e como aplicar esses testes para saber o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar mais claro o que estamos lidando. Temos:
Isso porque , então .

Passo 3

Agora, observamos que . À medida que cresce, tende a zero, então tende a 1. Isso significa que para valores grandes de , o termo principal da série é aproximadamente .

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. O teste da razão consiste em calcular o limite:
Onde . Vamos calcular:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando vai para infinito:
Como , segundo o teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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[2.0pt ] Uma partícula se move no plano , de tal forma que sua posição no tempo seja dado pela cicloide de equação
Encontre os valores máximo e mínimo de .
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Resolva as equações diferenciais dadas: