Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (n+1) 5^nn 3^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da razão. Precisamos entender um pouco sobre séries infinitas e como aplicar esses testes para saber o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar mais claro o que estamos lidando. Temos:
(n+1) 5^nn cdot 3^2n = n+1n cdot (59)^n
Isso porque , então .

Passo 3

Agora, observamos que . À medida que cresce, tende a zero, então tende a 1. Isso significa que para valores grandes de , o termo principal da série é aproximadamente .

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. O teste da razão consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = (n+2) 5^n+1(n+1) cdot 3^2(n+1) cdot n cdot 3^2n(n+1) 5^n . Vamos calcular:
Simplificando:
an+1an = (n+2)(n+1) cdot 5 cdot 19 = n+2n+1 cdot 59

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty n+2n+1 cdot 59 = limn to infty n+2n+1 cdot 59 = 1 cdot 59 = 59 vai para infinito:
Como , segundo o teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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