Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da razão. Precisamos entender um pouco sobre séries infinitas e como aplicar esses testes para saber o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para deixar mais claro o que estamos lidando. Temos:
Isso porque , então .
Passo 3
Agora, observamos que . À medida que cresce, tende a zero, então tende a 1. Isso significa que para valores grandes de , o termo principal da série é aproximadamente .
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. O teste da razão consiste em calcular o limite:
Onde . Vamos calcular:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando vai para infinito:
Como , segundo o teste da razão, a série converge absolutamente.