[2, Ex.2, p.120] Determine o domínio e calcule gamma(3/5), onde
gamma(t) = < t, ln(t), raiz(1 - t^2) >

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para a gente determinar o domínio da função vetorial e calcular o valor de . A matéria aqui envolve funções vetoriais e os conceitos de domínio de uma função. Para resolver, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função vetorial e como calcular a função para um valor específico de t.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função vetorial . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de t para os quais a função está definida.

Passo 3

Vamos analisar cada componente da função gamma(t) para descobrir quais valores de t são permitidos:
  1. Primeira componente: t. Aqui, t pode ser qualquer número real. Não há restrição.
  2. Segunda componente: . O logaritmo natural só está definido para . Então, t deve ser maior que zero.
  3. Terceira componente: . A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Portanto, . Isso implica que , ou seja, -1 <= t <= 1.

Passo 4

Agora, vamos combinar essas restrições para encontrar o domínio da função vetorial:
  • Da segunda componente: .
  • Da terceira componente: -1 <= t <= 1.
A interseção dessas duas condições é . Portanto, o domínio de gamma(t) é todos os números reais t tais que .

Passo 5

Agora que sabemos o domínio, vamos calcular . Para isso, substituímos t por 3/5 em cada componente da função:
  1. Primeira componente: .
  2. Segunda componente: .
  3. Terceira componente: .

Passo 6

Então, juntando tudo, temos:

Resposta

O domínio de gamma(t) é e .

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