[2, Ex.2, p.120] Determine o domínio e calcule
, onde
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para a gente determinar o domínio da função vetorial
e calcular o valor de
. A matéria aqui envolve funções vetoriais e os conceitos de domínio de uma função. Para resolver, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função vetorial e como calcular a função para um valor específico de
.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função vetorial
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Vamos analisar cada componente da função
para descobrir quais valores de
são permitidos:
- Primeira componente:
. Aqui, pode ser qualquer número real. Não há restrição. - Segunda componente:
. O logaritmo natural só está definido para . Então, deve ser maior que zero. - Terceira componente:
. A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Portanto, . Isso implica que , ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos combinar essas restrições para encontrar o domínio da função vetorial:
- Da segunda componente:
. - Da terceira componente:
.
A interseção dessas duas condições é
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais
tais que
.
Passo 5
Agora que sabemos o domínio, vamos calcular
. Para isso, substituímos
por
em cada componente da função:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Passo 6
Então, juntando tudo, temos:
Resposta
O domínio de
é
e
.