Utilize a transformação dada para calcular a integral , onde é a região dentro do círculo com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente calcule uma integral dupla sobre uma região dentro do círculo onde . A matéria que vamos usar aqui é a de mudança de variável em integrais múltiplas, usando a transformação e . Para resolver isso, precisamos entender como mudar as variáveis de para , calcular o determinante da Jacobiana e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar e em termos de e . Sabemos que:
Resolvendo para e :
Passo 3
Agora, precisamos calcular a Jacobiana dessa transformação, que nos ajuda a ajustar o diferencial de área . A Jacobiana é dada por:
Como mudar de variável envolve a área, usamos o valor absoluto da Jacobiana:
Então, .
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaR (x+y) e^(x+y)^2+(x-y)^2raiz2x^2 + 2y^2 , dA e (x + y) = u e (x - y) = v . A integral dada é:
(x + y)^2 + (x - y)^2 = u^2 + v^2
Substituindo 2x^2 + 2y^2 = (x + y)^2 + (x - y)^2 = u^2 + v^2 e integral duplaR' u e^u^2 + v^2raizu^2 + v^2 cdot 12 , du , dv = 12 integral duplaR' u cdot e^u^2 + v^2 cdot 1raizu^2 + v^2 , du , dv :
12 integral duplaR' u e^u^2 + v^2raizu^2 + v^2 , du , dv
Além disso,
E,
Portanto, a integral fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos identificar os novos limites de integração. Originalmente, x^2 + y^2 = (u + v2)^2 + (u - v2)^2 = u^2 + 2uv + v^24 + u^2 - 2uv + v^24 = 2u^2 + 2v^24 = u^2 + v^22 <= 1 está dentro do círculo u^2 + v^2 <= 2 , então em termos de e :
Então,
Além disso, implica .
Passo 6
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Definimos:
u = r costheta e v = r sintheta
Assim, a região 0 <= r <= raiz2 e 0 <= theta <= pi2 em termos de 12 integral0^pi2 integral0^raiz2 r costheta cdot e^r^2r cdot r , dr , dtheta = 12 integral0^pi2 integral0^raiz2 costheta cdot e^r^2 cdot r , dr , dtheta e 12 integral0^pi2 costheta integral0^raiz2 e^r^2 cdot r , dr , dtheta fica:
O diferencial em coordenadas polares é . Então, a integral transforma-se em:
Simplificando no numerador e denominador:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raiz2 e^r^2 cdot r , dr :