Utilize a transformação dada para calcular a integral
integral duplaR (x+y) e^(x+y)^2+(x-y)^2raiz2 x^2+2 y^2 d A, onde R é a região dentro do círculo x^2+y^2=1 com x >= y ; u=x+y, v=x-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente calcule uma integral dupla sobre uma região dentro do círculo onde . A matéria que vamos usar aqui é a de mudança de variável em integrais múltiplas, usando a transformação e . Para resolver isso, precisamos entender como mudar as variáveis de para , calcular o determinante da Jacobiana e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar u = x + y e v = x - y e x = u + v2 e y = u - v2 em termos de e . Sabemos que:
Resolvendo para e :

Passo 3

Agora, precisamos calcular a Jacobiana dessa transformação, que nos ajuda a ajustar o diferencial de área J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 12 & -12 = (-14 - 14) = -12 . A Jacobiana |J| = 12 é dada por:
Como mudar de variável envolve a área, usamos o valor absoluto da Jacobiana:
Então, .

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaR (x+y) e^(x+y)^2+(x-y)^2raiz2x^2 + 2y^2 , dA e (x + y) = u e (x - y) = v . A integral dada é:
(x + y)^2 + (x - y)^2 = u^2 + v^2
Substituindo 2x^2 + 2y^2 = (x + y)^2 + (x - y)^2 = u^2 + v^2 e integral duplaR' u e^u^2 + v^2raizu^2 + v^2 cdot 12 , du , dv = 12 integral duplaR' u cdot e^u^2 + v^2 cdot 1raizu^2 + v^2 , du , dv :
12 integral duplaR' u e^u^2 + v^2raizu^2 + v^2 , du , dv
Além disso,
E,
Portanto, a integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos identificar os novos limites de integração. Originalmente, x^2 + y^2 = (u + v2)^2 + (u - v2)^2 = u^2 + 2uv + v^24 + u^2 - 2uv + v^24 = 2u^2 + 2v^24 = u^2 + v^22 <= 1 está dentro do círculo u^2 + v^2 <= 2 , então em termos de e :
Então,
Além disso, implica .

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Definimos:
u = r costheta e v = r sintheta
Assim, a região 0 <= r <= raiz2 e 0 <= theta <= pi2 em termos de 12 integral0^pi2 integral0^raiz2 r costheta cdot e^r^2r cdot r , dr , dtheta = 12 integral0^pi2 integral0^raiz2 costheta cdot e^r^2 cdot r , dr , dtheta e 12 integral0^pi2 costheta integral0^raiz2 e^r^2 cdot r , dr , dtheta fica:
O diferencial em coordenadas polares é . Então, a integral transforma-se em:
Simplificando no numerador e denominador:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^raiz2 e^r^2 cdot r , dr :
12 integral0^2 e^t , dt = 12 [ e^t ]0^2 = 12 (e^2 - 1)
Fazendo a substituição 12 integral0^pi2 costheta cdot 12 (e^2 - 1) , dtheta = e^2 - 14 integral0^pi2 costheta , dtheta , então ou :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^pi2 costheta , dtheta = [ sintheta ]0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1 :
e^2 - 14 times 1 = e^2 - 14
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral é .

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