Determine o domínio de
r(t) = raiz(9 - t^2) * i + ln(t + 4) * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função vetorial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções vetoriais que envolvem radiciação (raiz quadrada) e funções logarítmicas. Para encontrar o domínio, precisamos descobrir para quais valores de ambas as partes da função estão bem definidas.
O que vamos precisar: Entender as condições de existência para a raiz quadrada e para o logaritmo natural.

Passo 2

Vamos começar analisando cada componente da função separadamente para encontrar as restrições no valor de .
1. Componente da Raiz Quadrada:
Para que a raiz quadrada esteja definida, o que está dentro dela (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo a desigualdade:
Então, deve estar no intervalo fechado de -3 a 3.
2. Componente do Logaritmo Natural:
Para que o logaritmo natural esteja definido, o argumento do logaritmo precisa ser maior que zero:
Então, deve ser maior que -4.

Passo 3

Agora, vamos juntar as duas condições que encontramos para determinar o domínio da função vetorial completa.
Condições encontradas:
  1. (da raiz quadrada)
  2. (do logaritmo)
Para que a função esteja bem definida, ambas as condições precisam ser satisfeitas simultaneamente. Ou seja, deve ser maior que -4 e estar entre -3 e 3.
Analisando a interseção dos intervalos:
  • A condição é mais branda que , então o intervalo mais restrito é de -3 a 3.
Portanto, o domínio é onde esses dois intervalos se sobrepõem.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais tais que:

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