Determine o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função vetorial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções vetoriais que envolvem radiciação (raiz quadrada) e funções logarítmicas. Para encontrar o domínio, precisamos descobrir para quais valores de
ambas as partes da função estão bem definidas.
O que vamos precisar: Entender as condições de existência para a raiz quadrada e para o logaritmo natural.
Passo 2
Vamos começar analisando cada componente da função separadamente para encontrar as restrições no valor de
.
1. Componente da Raiz Quadrada:
Para que a raiz quadrada esteja definida, o que está dentro dela (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo a desigualdade:
Então,
deve estar no intervalo fechado de -3 a 3.
2. Componente do Logaritmo Natural:
Para que o logaritmo natural esteja definido, o argumento do logaritmo precisa ser maior que zero:
Então,
deve ser maior que -4.
Passo 3
Agora, vamos juntar as duas condições que encontramos para determinar o domínio da função vetorial completa.
Condições encontradas:
-
(da raiz quadrada) -
(do logaritmo)
Para que a função
esteja bem definida, ambas as condições precisam ser satisfeitas simultaneamente. Ou seja,
deve ser maior que -4 e estar entre -3 e 3.
Analisando a interseção dos intervalos:
- A condição
é mais branda que , então o intervalo mais restrito é de -3 a 3.
Portanto, o domínio é onde esses dois intervalos se sobrepõem.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais
tais que: