Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido
Abaixo do cone z = raiz(x^2 + y^2) e acima do disco x^2 + y^2 <= 4.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integrais duplas em coordenadas polares. A questão pede para calcular o volume do sólido que está abaixo do cone e acima do disco . Para isso, vamos usar coordenadas polares e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. O disco é um círculo de raio 2 no plano . Em coordenadas polares, isso corresponde a , onde é a distância do ponto à origem, e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a equação do cone em coordenadas polares. Sabemos que , então a equação do cone fica:
Isso significa que, para cada valor de , a altura do cone é vezes .

Passo 4

Para calcular o volume, usamos a integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo pela expressão do cone:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Agora, a integral vira:

Passo 6

Calculamos a integral em relação a :
Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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