Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido
Abaixo do cone
acima do disco
.
Abaixo do cone
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integrais duplas em coordenadas polares. A questão pede para calcular o volume do sólido que está abaixo do cone
e acima do disco
. Para isso, vamos usar coordenadas polares e aplicar a fórmula da integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. O disco
é um círculo de raio 2 no plano
. Em coordenadas polares, isso corresponde a
, onde
é a distância do ponto à origem, e
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a equação do cone em coordenadas polares. Sabemos que
, então a equação do cone fica:
Isso significa que, para cada valor de
, a altura
do cone é
vezes
.
Passo 4
Para calcular o volume, usamos a integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo
pela expressão do cone:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Agora, a integral vira:
Passo 6
Calculamos a integral em relação a
:
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.