Se f(x) = x^2 + (p - q) x e g(x) + x^3 + (p + q) x^2 - q x são divisíveis por 3 - x, com p e q reais, então q - p = -3.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções polinomiais:
A questão diz que ambas são divisíveis por . Isso significa que, ao substituirmos nessas funções, o resultado deve ser zero. Nosso objetivo é usar essa informação para mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a condição de divisibilidade para a função . Se é divisível por , então substituindo :

Passo 3

Agora, resolvemos a equação acima para encontrar uma relação entre e :
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Isso nos dá a primeira equação: .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a mesma lógica para a segunda função. Substituindo na expressão :
Assumindo que também é divisível por , então . Assim, a equação simplifica para:

Passo 5

Vamos simplificar a equação obtida:
Juntando os termos semelhantes:
Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 7

Da primeira equação, expressamos em termos de :
Substituímos esse valor na segunda equação:

Passo 8

Distribuindo e simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos na equação :

Resposta

Encontramos que e . Portanto, . No entanto, a afirmação da questão pede que . Isso indica que há uma inconsistência nos valores encontrados, sugerindo que pode haver um erro no enunciado original ou na interpretação das funções.

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