Se
e
são divisíveis por
, com
e
reais, então
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções polinomiais:
A questão diz que ambas são divisíveis por
. Isso significa que, ao substituirmos
nessas funções, o resultado deve ser zero. Nosso objetivo é usar essa informação para mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a condição de divisibilidade para a função
. Se
é divisível por
, então substituindo
:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação acima para encontrar uma relação entre
e
:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Isso nos dá a primeira equação:
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a mesma lógica para a segunda função. Substituindo
na expressão
:
Assumindo que
também é divisível por
, então
. Assim, a equação simplifica para:
Passo 5
Vamos simplificar a equação obtida:
Juntando os termos semelhantes:
Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Da primeira equação, expressamos
em termos de
:
Substituímos esse valor na segunda equação:
Passo 8
Distribuindo e simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação
:
Resposta
Encontramos que
e
. Portanto,
. No entanto, a afirmação da questão pede que
. Isso indica que há uma inconsistência nos valores encontrados, sugerindo que pode haver um erro no enunciado original ou na interpretação das funções.
Exercícios relacionados
Se
for idêntico a
, então
.
Se
é um polinômio dado por
, então o menor valor possível para o polinômio
, quando
varia em todo o conjunto dos números reais, é 2.
Quando o resto da divisão de
por um polinômio
é zero, então as raízes
de são raízes de
.