Quando o resto da divisão de
por um polinômio
é zero, então as raízes
de são raízes de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está falando. A gente está lidando com polinômios, que são expressões matemáticas tipo
. O enunciado diz que quando o resto da divisão de um polinômio
por outro polinômio
é zero, então as raízes de
também são raízes de
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre divisão de polinômios, restos, fatores e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dividir um polinômio
por outro polinômio
. Assim como na divisão de números, quando dividimos
por
, obtemos um quociente
e um resto
, de forma que:
Aqui,
é o resto da divisão.
Passo 3
Agora, se o resto
for zero, a equação fica:
Isso significa que
é um fator de
, ou seja,
é divisível por
sem deixar resto.
Passo 4
Sabemos que as raízes de um polinômio são os valores de
que fazem o polinômio igual a zero. Então, se
é um fator de
, qualquer raiz de
também fará
ser zero, porque:
Onde
é uma raiz de
, ou seja,
.
Passo 5
Portanto, se o resto da divisão de
por
é zero, todas as raízes de
são, de fato, raízes de
. Isso confirma a afirmação feita no enunciado.
Resposta
Quando o resto da divisão de
por
é zero, as raízes de
também são raízes de
.
Exercícios relacionados
Se
é um polinômio dado por
, então o menor valor possível para o polinômio
, quando
varia em todo o conjunto dos números reais, é 2.
Se
e
são divisíveis por
, com
e
reais, então
.
O valor de
para que o polinômio
seja divisível por
é -8.