Quando o resto da divisão de por um polinômio é zero, então as raízes de são raízes de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está falando. A gente está lidando com polinômios, que são expressões matemáticas tipo . O enunciado diz que quando o resto da divisão de um polinômio por outro polinômio é zero, então as raízes de também são raízes de . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre divisão de polinômios, restos, fatores e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dividir um polinômio por outro polinômio . Assim como na divisão de números, quando dividimos por , obtemos um quociente e um resto , de forma que:
Aqui, é o resto da divisão.

Passo 3

Agora, se o resto for zero, a equação fica:
Isso significa que é um fator de , ou seja, é divisível por sem deixar resto.

Passo 4

Sabemos que as raízes de um polinômio são os valores de que fazem o polinômio igual a zero. Então, se é um fator de , qualquer raiz de também fará ser zero, porque:
Onde é uma raiz de , ou seja, .

Passo 5

Portanto, se o resto da divisão de por é zero, todas as raízes de são, de fato, raízes de . Isso confirma a afirmação feita no enunciado.

Resposta

Quando o resto da divisão de por é zero, as raízes de também são raízes de .

Exercícios relacionados

Se é um polinômio dado por , então o menor valor possível para o polinômio , quando varia em todo o conjunto dos números reais, é 2.
Se e são divisíveis por , com e reais, então .
O valor de para que o polinômio seja divisível por é -8.