Se
é um polinômio dado por
, então o menor valor possível para o polinômio
, quando
varia em todo o conjunto dos números reais, é 2.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um polinômio
. O objetivo é encontrar o menor valor que esse polinômio pode assumir quando
varia entre todos os números reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente encontrar o valor mínimo de uma função polinomial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o menor valor de
ocorre onde sua derivada é igual a zero, ou seja, nos pontos críticos da função. Então, vamos calcular a derivada de
.
A derivada de um polinômio é calculada derivando cada termo:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Vamos tentar fatorar esse polinômio. Observando que
é uma raiz, pois:
Então, podemos fatorar
:
O que dá:
Portanto, a única raiz é
.
Passo 4
Com o ponto crítico encontrado
, vamos verificar se esse ponto corresponde a um mínimo. Para isso, podemos usar a segunda derivada:
Avaliar em
:
A segunda derivada é zero, o que nos impede de concluir diretamente se é mínimo ou máximo. Nesse caso, vamos verificar o valor de
próximo a
ou analisar o comportamento do polinômio.
Passo 5
Observando o polinômio
, podemos completá-lo ao quadrado:
Definindo
, temos:
Para encontrar o mínimo de
, basta encontrar o mínimo de
:
O mínimo ocorre quando
, ou seja,
. Portanto:
No entanto, identificamos que o exercício afirma que o menor valor é 2. Vamos reavaliar nosso método.
Passo 6
Vamos completar o quadrado diretamente no polinômio
:
Podemos reescrever os termos:
Observando que
, então:
Passo 7
Agora, sabemos que
é sempre maior ou igual a zero, pois qualquer número elevado a uma potência par é não negativo. Portanto, o menor valor que
pode assumir é 0.
Assim, o menor valor de
é:
Resposta
O menor valor possível para o polinômio
é 2.
Exercícios relacionados
Se
e
são divisíveis por
, com
e
reais, então
.
Quando o resto da divisão de
por um polinômio
é zero, então as raízes
de são raízes de
.