[2.5] Determine uma expressão, em funão dos parâmetros dados, para magnitude do campo elétrico em cada uma das regiões: na região , entre a região e e e fora da região b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir a expressão da magnitude do campo elétrico em três regiões diferentes: dentro da região a, entre a região a e b, e fora da região b. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para encontrar campos elétricos quando temos simetria no problema. Precisamos entender bem a distribuição de carga nas regiões a e b para aplicar a lei corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. Matematicamente, é expressa como:
Onde:
  • é o campo elétrico
  • é um elemento de área da superfície fechada
  • é a carga total dentro da superfície

Passo 3

Vamos assumir que as regiões a e b são esferas concêntricas para simplificar a aplicação da Lei de Gauss, já que a simetria esférica facilita os cálculos. Se não for o caso, a abordagem pode mudar, mas sem mais detalhes, vamos seguir com essa suposição.

Passo 4

Para encontrar o campo elétrico na região a, vamos considerar uma superfície gaussiana dentro da região a. Supondo que há uma carga distribuída uniformemente nessa região, a carga dentro da superfície gaussiana será proporcional ao volume dessa superfície.
Vamos chamar o raio da região a de e a densidade de carga de . A carga dentro da superfície será:
Onde é a distância do centro até o ponto onde queremos encontrar o campo elétrico.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss nessa superfície, temos:
Simplificando, encontramos:
Então, o campo elétrico na região a depende linearmente da distância desde o centro.

Passo 6

Agora, para a região entre a e b, vamos considerar uma superfície gaussiana que está fora da região a mas dentro da região b. Aqui, a carga total dentro da superfície gaussiana será a carga total da região a.
Se a carga total na região a é , aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 7

Finalmente, para a região fora da região b, a superfície gaussiana engloba tanto a região a quanto a b. A carga total dentro dessa superfície será a soma das cargas das regiões a e b.
Se a carga na região b é , então a carga total é .
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Resposta

As expressões para a magnitude do campo elétrico são:

Exercícios relacionados

Um cilindro vertical de altura h e área da base está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades e . A porção inferior do cilindro, de altura , está submersa no fluido de densidade , enquanto a porção superior, de altura , está submersa no fluido de densidade . O cilindro está em equilíbrio estático, e a densidade do material do cilindro é . Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele retornaria ao equilíbrio ou continuaria a subir? Justifique sua resposta com base nos princípios de estabilidade.
Em um experimento, um bloco retangular de altura é colocado para flutuar em quatro líquidos separados. No primeiro líquido, que é a água, o bloco flutua totalmente submerso. Nos líquidos A , B e C, o bloco flutua com altura e acima da superfície do líquido, respectivamente. Qual é densidade (massa específica em relação à da água) do líquido C ?
Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total e raio e a casca esférica externa possui carga total e raio . Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância C (a ser encontrada).
Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total e raio e a casca esférica externa possui carga total e raio . Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.