[2.5] Determine uma expressão, em funão dos parâmetros dados, para magnitude do campo elétrico em cada uma das regiões: na região
, entre a região
e
e e fora da região b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir a expressão da magnitude do campo elétrico em três regiões diferentes: dentro da região a, entre a região a e b, e fora da região b. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para encontrar campos elétricos quando temos simetria no problema. Precisamos entender bem a distribuição de carga nas regiões a e b para aplicar a lei corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. Matematicamente, é expressa como:
Onde:
-
é o campo elétrico -
é um elemento de área da superfície fechada -
é a carga total dentro da superfície
Passo 3
Vamos assumir que as regiões a e b são esferas concêntricas para simplificar a aplicação da Lei de Gauss, já que a simetria esférica facilita os cálculos. Se não for o caso, a abordagem pode mudar, mas sem mais detalhes, vamos seguir com essa suposição.
Passo 4
Para encontrar o campo elétrico na região a, vamos considerar uma superfície gaussiana dentro da região a. Supondo que há uma carga distribuída uniformemente nessa região, a carga dentro da superfície gaussiana será proporcional ao volume dessa superfície.
Vamos chamar o raio da região a de
e a densidade de carga de
. A carga dentro da superfície será:
Onde
é a distância do centro até o ponto onde queremos encontrar o campo elétrico.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss nessa superfície, temos:
Simplificando, encontramos:
Então, o campo elétrico na região a depende linearmente da distância
desde o centro.
Passo 6
Agora, para a região entre a e b, vamos considerar uma superfície gaussiana que está fora da região a mas dentro da região b. Aqui, a carga total dentro da superfície gaussiana será a carga total da região a.
Se a carga total na região a é
, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 7
Finalmente, para a região fora da região b, a superfície gaussiana engloba tanto a região a quanto a b. A carga total dentro dessa superfície será a soma das cargas das regiões a e b.
Se a carga na região b é
, então a carga total é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
As expressões para a magnitude do campo elétrico são:
Exercícios relacionados
Um cilindro vertical de altura h e área da base
está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades
e
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, está submersa no fluido de densidade
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, está submersa no fluido de densidade
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Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total
e raio
e a casca esférica externa possui carga total
e raio
. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância C (a ser encontrada).
Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total
e raio
e a casca esférica externa possui carga total
e raio
. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.