Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total +Q e raio ra e a casca esférica externa possui carga total -Q e raio rb. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância C (a ser encontrada).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas cascas esféricas condutoras que são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro. A casca interna tem carga total e raio , e a casca externa tem carga total e raio . Nosso objetivo aqui é calcular a energia potencial elétrica armazenada nesse capacitor esférico, usando a capacitância , que a gente também vai precisar encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a capacitância de um capacitor esférico. A capacitância C = 4pivarepsilon0 ra rbrb - ra de um capacitor depende da geometria das placas e do meio entre elas. No caso das cascas esféricas, a fórmula para a capacitância é:
Aqui, é a permissividade do vácuo. Essa fórmula nos mostra que a capacitância aumenta com o aumento dos raios das esferas e diminui quando a distância entre elas ( ) aumenta.

Passo 3

Agora que temos a expressão para a capacitância U = Q^22C , vamos calcular a energia potencial elétrica armazenada no capacitor. A energia armazenada em um capacitor pode ser calculada de duas maneiras, mas como já temos a carga e a capacitância , vamos usar a fórmula:
Essa fórmula nos diz que a energia armazenada é proporcional ao quadrado da carga e inversamente proporcional à capacitância.

Resposta

Substituindo a expressão da capacitância na fórmula da energia, temos:
U = Q^22 (4pivarepsilon0 ra rbrb - ra) = Q^2 (rb - ra)8pivarepsilon0 ra rb
Portanto, a energia potencial elétrica armazenada no capacitor esférico é:
U = Q^2 (rb - ra)8pivarepsilon0 ra rb

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