Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total e raio e a casca esférica externa possui carga total e raio . Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um capacitor esférico, que é composto por duas cascas esféricas condutoras concêntricas. A casca interna tem carga e raio , enquanto a externa tem carga e raio . Nosso objetivo é calcular a energia potencial elétrica armazenada nesse capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico. Para isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico entre as duas cascas e depois integrar a densidade de energia desse campo na região entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico entre as duas cascas esféricas. Como as casas são condutoras e concêntricas, usamos a Lei de Gauss para determinar o campo. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio onde , a Lei de Gauss nos diz que:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico é radial e tem a mesma intensidade em toda a superfície gaussiana. Então, temos:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico, que é dada por:
Substituindo o campo que encontramos:

Passo 4

Para encontrar a energia potencial elétrica armazenada no capacitor, precisamos integrar a densidade de energia sobre todo o volume onde o campo está presente, ou seja, entre e . Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então, a energia é:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
A integral de é:
Aplicando os limites:

Resposta

A energia potencial elétrica armazenada no capacitor esférico é:

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