Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total
e raio
e a casca esférica externa possui carga total
e raio
. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um capacitor esférico, que é composto por duas cascas esféricas condutoras concêntricas. A casca interna tem carga
e raio
, enquanto a externa tem carga
e raio
. Nosso objetivo é calcular a energia potencial elétrica armazenada nesse capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico. Para isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico entre as duas cascas e depois integrar a densidade de energia desse campo na região entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico entre as duas cascas esféricas. Como as casas são condutoras e concêntricas, usamos a Lei de Gauss para determinar o campo. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio
onde
, a Lei de Gauss nos diz que:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico
é radial e tem a mesma intensidade em toda a superfície gaussiana. Então, temos:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico, que é dada por:
Substituindo o campo que encontramos:
Passo 4
Para encontrar a energia potencial elétrica armazenada no capacitor, precisamos integrar a densidade de energia
sobre todo o volume onde o campo está presente, ou seja, entre
e
. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
. Então, a energia
é:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
A integral de
é:
Aplicando os limites:
Resposta
A energia potencial elétrica armazenada no capacitor esférico é:
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Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total
e raio
e a casca esférica externa possui carga total
e raio
. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância C (a ser encontrada).
[2.5] Determine uma expressão, em funão dos parâmetros dados, para magnitude do campo elétrico em cada uma das regiões: na região
, entre a região
e
e e fora da região b.
Uma barra fina não condutora de comprimento l acha-se carregada uniformemente com uma carga total q. Mostre que o valor do campo elétrico numa distância y da barra sobre sua mediatriz é dado por:
лоу
Um dipolo elétrico está sobre o eixo dos y com a carga positiva +q localizada em
e a carga -q em
. Mostre que para pontos distantes as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas por:
e
onde p é o momento de dipolo elétrico.