Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total +Q e raio ra e a casca esférica externa possui carga total -Q e raio rb. Assim, temos um capacitor esférico. Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um capacitor esférico, que é composto por duas cascas esféricas condutoras concêntricas. A casca interna tem carga e raio , enquanto a externa tem carga e raio . Nosso objetivo é calcular a energia potencial elétrica armazenada nesse capacitor integrando a densidade de energia do campo elétrico. Para isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico entre as duas cascas e depois integrar a densidade de energia desse campo na região entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico entre as duas cascas esféricas. Como as casas são condutoras e concêntricas, usamos a Lei de Gauss para determinar o campo. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 onde E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 , a Lei de Gauss nos diz que:
E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2
Como a simetria é esférica, o campo elétrico é radial e tem a mesma intensidade em toda a superfície gaussiana. Então, temos:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico, que é dada por:
u = 12 varepsilon0 E^2
Substituindo o campo que encontramos:
u(r) = 12 varepsilon0 ( Q4pi varepsilon0 r^2 )^2 = Q^232pi^2 varepsilon0 r^4

Passo 4

Para encontrar a energia potencial elétrica armazenada no capacitor, precisamos integrar a densidade de energia U = integralra^rb u(r) cdot dV = integralra^rb Q^232pi^2 varepsilon0 r^4 cdot 4pi r^2 dr sobre todo o volume onde o campo está presente, ou seja, entre e . Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então, a energia é:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
U = Q^232pi^2 varepsilon0 cdot 4pi integralra^rb 1r^2 dr = Q^28pi varepsilon0 integralra^rb r^-2 dr
A integral de integral r^-2 dr = -1r é:
U = Q^28pi varepsilon0 ( -1rb + 1ra ) = Q^28pi varepsilon0 ( 1ra - 1rb )
Aplicando os limites:

Resposta

A energia potencial elétrica armazenada no capacitor esférico é:
U = Q^28pi varepsilon0 ( 1ra - 1rb )

Exercícios relacionados