Um cilindro vertical de altura h e área da base está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades e . A porção inferior do cilindro, de altura , está submersa no fluido de densidade , enquanto a porção superior, de altura , está submersa no fluido de densidade . O cilindro está em equilíbrio estático, e a densidade do material do cilindro é . Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele retornaria ao equilíbrio ou continuaria a subir? Justifique sua resposta com base nos princípios de estabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cilindro equilibrado parcialmente submerso em dois fluidos diferentes, com densidades e , onde . Queremos descobrir se, se o cilindro for puxado um pouquinho para cima, ele volta pro lugar ou continua subindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e estabilidade nos fluidos, aplicando a força de empuxo e o equilíbrio das forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro estar em equilíbrio estático. Isso quer dizer que as forças que atuam para cima (empuxo) e para baixo (peso do cilindro) estão balanceadas. Vamos identificar essas forças:
  • Peso do cilindro ( ): É a força para baixo e pode ser calculada pela massa do cilindro vezes a aceleração da gravidade. A massa é a densidade do cilindro ( ) vezes o volume total. O volume total do cilindro é a área da base ( ) vezes a altura total ( )). Então:
  • Empuxo total ( ): É a força para cima e vem da soma dos empuxos dos dois fluidos. O empuxo em cada fluido é a densidade do fluido vezes o volume submerso nesse fluido vezes a gravidade. Então:

Passo 3

Como o cilindro está em equilíbrio, o empuxo total deve ser igual ao peso do cilindro:

Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por :

Passo 4

Agora, vamos pensar no que acontece se o cilindro for deslocado um pouquinho para cima. Isso significa que uma parte maior do cilindro ficará na camada com densidade e uma parte menor na camada com densidade . Vamos chamar as novas alturas submersas de e , respectivamente.
A nova condição de equilíbrio será:
Como o cilindro foi puxado para cima, temos que e , onde é o pequeno deslocamento para cima.
Substituindo na equação:

Passo 5

Expandindo e reorganizando os termos:
Sabemos que originalmente:
Então, substituindo na equação acima:
Simplificando:
Como , então é negativo. Para que a equação seja verdadeira, deve ser zero, o que sugere que qualquer pequeno deslocamento não mantém o equilíbrio.

Passo 6

No entanto, para analisar a estabilidade, precisamos verificar se um pequeno deslocamento resulta em um restabelecimento do equilíbrio ou em um afastamento maior. Observamos que o termo que envolve o deslocamento tem um coeficiente negativo ( ). Isso significa que um deslocamento para cima resultaria em uma força restauradora para baixo, tentando trazer o cilindro de volta ao equilíbrio.

Resposta

Se o cilindro for deslocado ligeiramente para cima, ele retornará ao equilíbrio, pois a posição inicial é estável com base nos princípios de estabilidade.

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