Um cilindro vertical de altura h e área da base A está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades rho1 e rho2(rho1. A porção inferior do cilindro, de altura h2, está submersa no fluido de densidade rho2, enquanto a porção superior, de altura h1, está submersa no fluido de densidade rho1. O cilindro está em equilíbrio estático, e a densidade do material do cilindro é rhoc. Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele retornaria ao equilíbrio ou continuaria a subir? Justifique sua resposta com base nos princípios de estabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cilindro equilibrado parcialmente submerso em dois fluidos diferentes, com densidades rho1 e rho2, onde rho1 < rho2. Queremos descobrir se, se o cilindro for puxado um pouquinho para cima, ele volta pro lugar ou continua subindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e estabilidade nos fluidos, aplicando a força de empuxo e o equilíbrio das forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro estar em equilíbrio estático. Isso quer dizer que as forças que atuam para cima (empuxo) e para baixo (peso do cilindro) estão balanceadas. Vamos identificar essas forças:
  • Peso do cilindro ( P): É a força para baixo e pode ser calculada pela massa do cilindro vezes a aceleração da gravidade. A massa é a densidade do cilindro ( rhoc) vezes o volume total. O volume total do cilindro é a área da base ( A) vezes a altura total ( h = h1 + h2)). Então:
    P = rhoc cdot A cdot h cdot g
  • Empuxo total ( E): É a força para cima e vem da soma dos empuxos dos dois fluidos. O empuxo em cada fluido é a densidade do fluido vezes o volume submerso nesse fluido vezes a gravidade. Então:
    E = rho1 cdot A cdot h1 cdot g + rho2 cdot A cdot h2 cdot g

Passo 3

Como o cilindro está em equilíbrio, o empuxo total deve ser igual ao peso do cilindro:
E = P
Substituindo as expressões que encontramos:
rho1 cdot A cdot h1 cdot g + rho2 cdot A cdot h2 cdot g = rhoc cdot A cdot h cdot g
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por A cdot g:
rho1 cdot h1 + rho2 cdot h2 = rhoc cdot h

Passo 4

Agora, vamos pensar no que acontece se o cilindro for deslocado um pouquinho para cima. Isso significa que uma parte maior do cilindro ficará na camada com densidade rho1 e uma parte menor na camada com densidade rho2. Vamos chamar as novas alturas submersas de h1' e h2', respectivamente.
A nova condição de equilíbrio será:
rho1 cdot h1' + rho2 cdot h2' = rhoc cdot h
Como o cilindro foi puxado para cima, temos que h1' = h1 + De e h2' = h2 - De, onde De é o pequeno deslocamento para cima.
Substituindo na equação:
rho1 cdot (h1 + De

Passo 5

Expandindo e reorganizando os termos:
rho1 cdot h1 + rho1 cdot De
Sabemos que originalmente:
rho1 cdot h1 + rho2 cdot h2 = rhoc cdot h
Então, substituindo na equação acima:
rhoc cdot h + (rho1 - rho2) cdot De
Simplificando:
(rho1 - rho2) cdot De
Como rho1 < rho2, então (rho1 - rho2) é negativo. Para que a equação seja verdadeira, De deve ser zero, o que sugere que qualquer pequeno deslocamento não mantém o equilíbrio.

Passo 6

No entanto, para analisar a estabilidade, precisamos verificar se um pequeno deslocamento resulta em um restabelecimento do equilíbrio ou em um afastamento maior. Observamos que o termo que envolve o deslocamento De tem um coeficiente negativo ( rho1 - rho2 < 0). Isso significa que um deslocamento para cima resultaria em uma força restauradora para baixo, tentando trazer o cilindro de volta ao equilíbrio.

Resposta

Se o cilindro for deslocado ligeiramente para cima, ele retornará ao equilíbrio, pois a posição inicial é estável com base nos princípios de estabilidade.

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