Um cilindro vertical de altura h e área da base
está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades
e
. A porção inferior do cilindro, de altura
, está submersa no fluido de densidade
, enquanto a porção superior, de altura
, está submersa no fluido de densidade
. O cilindro está em equilíbrio estático, e a densidade do material do cilindro é
. Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele retornaria ao equilíbrio ou continuaria a subir? Justifique sua resposta com base nos princípios de estabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um cilindro equilibrado parcialmente submerso em dois fluidos diferentes, com densidades
e
, onde
. Queremos descobrir se, se o cilindro for puxado um pouquinho para cima, ele volta pro lugar ou continua subindo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e estabilidade nos fluidos, aplicando a força de empuxo e o equilíbrio das forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro estar em equilíbrio estático. Isso quer dizer que as forças que atuam para cima (empuxo) e para baixo (peso do cilindro) estão balanceadas. Vamos identificar essas forças:
-
Peso do cilindro (
): É a força para baixo e pode ser calculada pela massa do cilindro vezes a aceleração da gravidade. A massa é a densidade do cilindro ( ) vezes o volume total. O volume total do cilindro é a área da base ( ) vezes a altura total ( )). Então: -
Empuxo total (
): É a força para cima e vem da soma dos empuxos dos dois fluidos. O empuxo em cada fluido é a densidade do fluido vezes o volume submerso nesse fluido vezes a gravidade. Então:
Passo 3
Como o cilindro está em equilíbrio, o empuxo total deve ser igual ao peso do cilindro:
Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Passo 4
Agora, vamos pensar no que acontece se o cilindro for deslocado um pouquinho para cima. Isso significa que uma parte maior do cilindro ficará na camada com densidade
e uma parte menor na camada com densidade
. Vamos chamar as novas alturas submersas de
e
, respectivamente.
A nova condição de equilíbrio será:
Como o cilindro foi puxado para cima, temos que
e
, onde
é o pequeno deslocamento para cima.
Substituindo na equação:
Passo 5
Expandindo e reorganizando os termos:
Sabemos que originalmente:
Então, substituindo na equação acima:
Simplificando:
Como
, então
é negativo. Para que a equação seja verdadeira,
deve ser zero, o que sugere que qualquer pequeno deslocamento não mantém o equilíbrio.
Passo 6
No entanto, para analisar a estabilidade, precisamos verificar se um pequeno deslocamento resulta em um restabelecimento do equilíbrio ou em um afastamento maior. Observamos que o termo que envolve o deslocamento
tem um coeficiente negativo (
). Isso significa que um deslocamento para cima resultaria em uma força restauradora para baixo, tentando trazer o cilindro de volta ao equilíbrio.
Resposta
Se o cilindro for deslocado ligeiramente para cima, ele retornará ao equilíbrio, pois a posição inicial é estável com base nos princípios de estabilidade.
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