[2,5] Determine o operador linear do R^2 cuja matriz em relação à base
B=(1,2),(0,5) é (cc 3 & 1 2 & -1 ) é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o operador linear em 3 & 1 2 & -1 cuja matriz em relação à base é dada por
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a matriz desse operador na base para a matriz no sistema de coordenadas padrão. Isso envolve trabalhar com a matriz de mudança de base e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, precisamos construir a matriz de mudança de base P = 1 & 0 2 & 5 . Essa matriz é formada pelas colunas que são os vetores da base . Então, temos:
Essa matriz ajuda a converter coordenadas da base para a base padrão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa da matriz P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a , que é det(P) = (1)(5) - (0)(2) = 5 . A inversa é importante porque ela nos permite ir da base padrão de volta para a base P^-1 = 15 5 & 0 -2 & 1 = 1 & 0 -0.4 & 0.2 . Para encontrar , usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 2x2:
Onde é o determinante de . Calculando:
Então,

Passo 4

Com A = P cdot [T]B cdot P^-1 e A = 1 & 0 2 & 5 cdot 3 & 1 2 & -1 cdot 1 & 0 -0.4 & 0.2 em mãos, podemos encontrar a matriz do operador linear na base padrão, chamada . A relação entre as matrizes é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, multiplicamos 1 & 0 2 & 5 cdot 3 & 1 2 & -1 = (1)(3)+(0)(2) & (1)(1)+(0)(-1) (2)(3)+(5)(2) & (2)(1)+(5)(-1) = 3 & 1 16 & -3 por 3 & 1 16 & -3 cdot 1 & 0 -0.4 & 0.2 = (3)(1)+(1)(-0.4) & (3)(0)+(1)(0.2) (16)(1)+(-3)(-0.4) & (16)(0)+(-3)(0.2) = 2.6 & 0.2 17.2 & -0.6 :
Agora, multiplicamos esse resultado por :

Resposta

A matriz do operador linear no sistema de coordenadas padrão é
2.6 & 0.2 17.2 & -0.6

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