Determine o operador linear do cuja matriz em relação à base
é

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o operador linear em cuja matriz em relação à base é dada por
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a matriz desse operador na base para a matriz no sistema de coordenadas padrão. Isso envolve trabalhar com a matriz de mudança de base e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, precisamos construir a matriz de mudança de base . Essa matriz é formada pelas colunas que são os vetores da base . Então, temos:
Essa matriz ajuda a converter coordenadas da base para a base padrão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa da matriz , que é . A inversa é importante porque ela nos permite ir da base padrão de volta para a base . Para encontrar , usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 2x2:
Onde é o determinante de . Calculando:
Então,

Passo 4

Com e em mãos, podemos encontrar a matriz do operador linear na base padrão, chamada . A relação entre as matrizes é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos esse resultado por :

Resposta

A matriz do operador linear no sistema de coordenadas padrão é

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