Determine o operador linear do
cuja matriz em relação à base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o operador linear em
cuja matriz em relação à base
é dada por
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a matriz desse operador na base
para a matriz no sistema de coordenadas padrão. Isso envolve trabalhar com a matriz de mudança de base e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, precisamos construir a matriz de mudança de base
. Essa matriz é formada pelas colunas que são os vetores da base
. Então, temos:
Essa matriz ajuda a converter coordenadas da base
para a base padrão.
Passo 3
Agora, vamos calcular a inversa da matriz
, que é
. A inversa é importante porque ela nos permite ir da base padrão de volta para a base
. Para encontrar
, usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 2x2:
Onde
é o determinante de
. Calculando:
Então,
Passo 4
Com
e
em mãos, podemos encontrar a matriz do operador linear na base padrão, chamada
. A relação entre as matrizes é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Resposta
A matriz do operador linear no sistema de coordenadas padrão é