Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
(conjunto de vetores no plano) e
e
Passo 1
Vamos mostrar que o conjunto
não é um subespaço vetorial do espaço
, que é o conjunto de todos os vetores no plano. Para isso, precisamos verificar se
satisfaz as três propriedades fundamentais de um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero.
- É fechado em relação à soma de vetores.
- É fechado em relação ao produto por um escalar.
Passo 2
Propriedade 1: Contém o vetor zero
Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero, que no plano é representado por
.
No conjunto
, o valor de
deve ser um número natural (
), ou seja,
.
Para que
contenha o vetor zero, precisaríamos que
, mas
não pertence a
. Portanto, o vetor zero não está em
.
Passo 3
Conclusão
Como o conjunto
não contém o vetor zero, ele já falha em satisfazer uma das propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial. Não é necessário verificar as outras propriedades, pois basta uma falha para concluir que
não é um subespaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero.
Exercícios relacionados
Determine a ordem das matrizes
e
, sabendo-se que
tem ordem
tem ordem
e
tem ordem
.
Mostre que o conjunto
não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
e
- Sejam as matrizes
e que verificam . Sabendo que é uma matriz de ordem , quais são as ordens das outra quatro matrizes?