Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D. (polinômios de grau menor ou igual a 2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três polinômios no espaço , que são polinômios de grau até 2. A missão é descobrir se esses polinômios são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que significa L.I. e L.D. e depois montar uma combinação linear para testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta em zero, então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos chamar nossos polinômios de:
Agora, vamos montar a combinação linear:
Isso significa:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para ver se só a solução trivial funciona.
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Primeiramente, da terceira equação, podemos isolar :
Agora, substituímos nas duas primeiras equações:
Observamos que as duas equações resultaram na mesma coisa: .
Passo 7
Isso significa que há infinitas soluções:
Portanto, podemos escolher qualquer valor para (por exemplo, ) e obter e .
Resposta
Como existe uma combinação não trivial () que satisfaz a equação , concluímos que os polinômios são linearmente dependentes (L.D.).