Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
(polinômios de grau menor ou igual a 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três polinômios no espaço , que são polinômios de grau até 2. A missão é descobrir se esses polinômios são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que significa L.I. e L.D. e depois montar uma combinação linear para testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta em zero, então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos chamar nossos polinômios de:
Agora, vamos montar a combinação linear:
Isso significa:

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para ver se só a solução trivial funciona.

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Primeiramente, da terceira equação, podemos isolar :
Agora, substituímos nas duas primeiras equações:
Observamos que as duas equações resultaram na mesma coisa: .

Passo 7

Isso significa que há infinitas soluções:
Portanto, podemos escolher qualquer valor para (por exemplo, ) e obter e .

Resposta

Como existe uma combinação não trivial ( ) que satisfaz a equação , concluímos que os polinômios são linearmente dependentes (L.D.).

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  • Determine a matriz quadrada , de ordem 4 cujos elementos são dados por:
Determine o operador linear do cuja matriz em relação à base
é
Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
Seja uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -3 , pede-se:
(a) O determinante da matriz dada por .
(b) Decidir se é ou não invertível.
© * O determinante da matriz obtida de após serem realizadas as seguintes operações: .
(d) Decidir se a matriz é ou não invertível.