Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
E=P2 (polinômios de grau menor ou igual a 2) S=1+t+t^2, 2+5 t-t^2, 5+11 t-t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três polinômios no espaço , que são polinômios de grau até 2. A missão é descobrir se esses polinômios são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que significa L.I. e L.D. e depois montar uma combinação linear para testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta em zero, então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos chamar nossos polinômios de:
P1 = 1 + t + t^2
P2 = 2 + 5t - t^2
P3 = 5 + 11t - t^2
Agora, vamos montar a combinação linear:
aP1 + bP2 + cP3 = 0
Isso significa:
a(1 + t + t^2) + b(2 + 5t - t^2) + c(5 + 11t - t^2) = 0

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
a + at + at^2 + 2b + 5bt - bt^2 + 5c + 11ct - ct^2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + 2b + 5c) + (a + 5b + 11c)t + (a - b - c)t^2 = 0
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 2b + 5c = 0 a + 5b + 11c = 0 a - b - c = 0
Agora, precisamos resolver esse sistema para ver se só a solução trivial funciona.

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Primeiramente, da terceira equação, podemos isolar a = b + c :
(b + c) + 2b + 5c = 0 Rightarrow 3b + 6c = 0 Rightarrow b + 2c = 0 (1)
Agora, substituímos (b + c) + 5b + 11c = 0 Rightarrow 6b + 12c = 0 Rightarrow b + 2c = 0 (2) nas duas primeiras equações:
Observamos que as duas equações resultaram na mesma coisa: .

Passo 7

Isso significa que há infinitas soluções:
b = -2c
a = b + c = -2c + c = -c
Portanto, podemos escolher qualquer valor para (por exemplo, ) e obter e .

Resposta

Como existe uma combinação não trivial ( ) que satisfaz a equação , concluímos que os polinômios são linearmente dependentes (L.D.).

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