- Sejam as matrizes
e
que verificam
. Sabendo que
é uma matriz de ordem
, quais são as ordens das outra quatro matrizes?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos cinco matrizes
e
que obedecem à igualdade
. Sabemos que a matriz
é de ordem
. Nosso objetivo aqui é descobrir as ordens das outras matrizes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se você tem uma matriz
de tamanho
e uma matriz
de tamanho
, o produto
é uma matriz de tamanho
. É importante que o número de colunas de
seja igual ao número de linhas de
para que a multiplicação seja possível.
Passo 3
Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade
. Sabemos que
é
, então precisamos que as multiplicações ocorram de forma que as dimensões sejam compatíveis.
Vamos supor que:
-
tenha ordem , -
tenha ordem , -
tenha ordem , -
tenha ordem .
Mas sabemos que
é
, então precisamos que as dimensões se encaixem na multiplicação.
Passo 4
Começando com
:
-
é -
é - O resultado será
Agora, multiplicamos pelo
que é
. Para que essa multiplicação seja possível, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(3). Portanto,
.
Assim,
é
.
Passo 5
Continuando, temos
:
-
é -
é - O resultado será
Agora, multiplicamos por
. Vamos chamar essa matriz de
de ordem
. Para que a multiplicação
seja possível, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Então,
. Portanto,
é
.
Passo 6
Agora, temos
:
-
é -
precisa multiplicar, então a ordem de deve ser
Para que a igualdade
faça sentido, o resultado final deve ter o mesmo tamanho em ambos os lados. Vamos analisar o lado direito
.
Passo 7
Analisando
:
-
é -
é (como descobrimos) - Para multiplicar
, o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Então, . Portanto, é .
Passo 8
Continuando com
:
-
é -
é - O resultado é
Agora, multiplicamos por
que é
. Para que
seja possível, o número de colunas de
(
) deve ser igual ao número de linhas de
(
). Então,
.
Passo 9
Com
, revisamos:
-
é -
é
Agora, vamos multiplicar
:
-
é -
é - O resultado é
Em seguida, multiplicamos por
:
-
é -
é (de passos anteriores) - Para multiplicar, o número de colunas de
( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Isso não é possível!
Passo 10
Parece que houve um erro na nossa suposição inicial. Vamos ajustar. Se
é
, então para multiplicar
,
deve ser
, o que já confirmamos. Mas ao multiplicar
, temos:
-
é -
é - Resultado:
Agora, multiplicamos por
:
-
é -
é (de ) - Ainda não bate. Precisamos que o número de colunas de
( ) seja igual ao número de linhas de ( ), o que não ocorre.
Isso indica que a única possibilidade é
.
Passo 11
Vamos definir
:
-
é -
é -
é -
é -
é
Agora, multiplicando
:
-
é -
é -
é -
é
E multiplicando
:
-
é -
é -
é -
é
Agora as dimensões conferem!
Resposta
As ordens das matrizes são:
-
é -
é -
é -
é
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não é um subespaço vetorial, considerando as operações de soma e produto por um escalar.
(conjunto de vetores no plano) e
e
Determine a ordem das matrizes
e
, sabendo-se que
tem ordem
tem ordem
e
tem ordem
.
- Determine a matriz quadrada
, de ordem 4 cujos elementos são dados por: