• Sejam as matrizes e que verificam . Sabendo que é uma matriz de ordem , quais são as ordens das outra quatro matrizes?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos cinco matrizes e que obedecem à igualdade . Sabemos que a matriz é de ordem . Nosso objetivo aqui é descobrir as ordens das outras matrizes e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se você tem uma matriz de tamanho e uma matriz de tamanho , o produto é uma matriz de tamanho . É importante que o número de colunas de seja igual ao número de linhas de para que a multiplicação seja possível.

Passo 3

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade . Sabemos que é , então precisamos que as multiplicações ocorram de forma que as dimensões sejam compatíveis.
Vamos supor que:
  • tenha ordem ,
  • tenha ordem ,
  • tenha ordem ,
  • tenha ordem .
Mas sabemos que é , então precisamos que as dimensões se encaixem na multiplicação.

Passo 4

Começando com :
  • é
  • é
  • O resultado será
Agora, multiplicamos pelo que é . Para que essa multiplicação seja possível, o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de (3). Portanto, .
Assim, é .

Passo 5

Continuando, temos :
  • é
  • é
  • O resultado será
Agora, multiplicamos por . Vamos chamar essa matriz de de ordem . Para que a multiplicação seja possível, o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Então, . Portanto, é .

Passo 6

Agora, temos :
  • é
  • precisa multiplicar, então a ordem de deve ser
Para que a igualdade faça sentido, o resultado final deve ter o mesmo tamanho em ambos os lados. Vamos analisar o lado direito .

Passo 7

Analisando :
  • é
  • é (como descobrimos)
  • Para multiplicar , o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Então, . Portanto, é .

Passo 8

Continuando com :
  • é
  • é
  • O resultado é
Agora, multiplicamos por que é . Para que seja possível, o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Então, .

Passo 9

Com , revisamos:
  • é
  • é
Agora, vamos multiplicar :
  • é
  • é
  • O resultado é
Em seguida, multiplicamos por :
  • é
  • é (de passos anteriores)
  • Para multiplicar, o número de colunas de ( ) deve ser igual ao número de linhas de ( ). Isso não é possível!

Passo 10

Parece que houve um erro na nossa suposição inicial. Vamos ajustar. Se é , então para multiplicar , deve ser , o que já confirmamos. Mas ao multiplicar , temos:
  • é
  • é
  • Resultado:
Agora, multiplicamos por :
  • é
  • é (de )
  • Ainda não bate. Precisamos que o número de colunas de ( ) seja igual ao número de linhas de ( ), o que não ocorre.
Isso indica que a única possibilidade é .

Passo 11

Vamos definir :
  • é
  • é
  • é
  • é
  • é
Agora, multiplicando :
  • é
  • é
  • é
  • é
E multiplicando :
  • é
  • é
  • é
  • é
Agora as dimensões conferem!

Resposta

As ordens das matrizes são:
  • é
  • é
  • é
  • é

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(conjunto de vetores no plano) e e
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é
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