• Determine a matriz quadrada A=(ai j), de ordem 4 cujos elementos são dados por:
ai j=rr 2 i-3 j, & se ij

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma matriz quadrada de ordem 4, ou seja, uma matriz com 4 linhas e 4 colunas. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como preencher cada elemento da matriz com base nas regras dadas para os índices das linhas ( i) e colunas ( j).

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz A de ordem 4 times 4. Isso significa que teremos 16 elementos para calcular, organizados em 4 linhas e 4 colunas. A matriz geral fica assim:
A = a11 & a12 & a13 & a14 a21 & a22 & a23 & a24 a31 & a32 & a33 & a34 a41 & a42 & a43 & a44
Cada elemento aij vai depender dos valores de i e j, conforme as regras dadas no enunciado.

Passo 3

Vamos calcular cada elemento aij usando as condições fornecidas:
  1. Quando i < j: usamos a fórmula aij = 2i - 3j.
  2. Quando i = j: usamos a fórmula aij = i^2 + 2j.
  3. Quando i > j: usamos a fórmula aij = -3i + 4j.
Vamos fazer isso passo a passo para cada posição na matriz.

Passo 4

Linha 1 ( i = 1):
  • a11 ( i = j = 1):
    a11 = 1^2 + 2 times 1 = 1 + 2 = 3
  • a12 ( i = 1 < j = 2):
    a12 = 2 times 1 - 3 times 2 = 2 - 6 = -4
  • a13 ( i = 1 < j = 3):
    a13 = 2 times 1 - 3 times 3 = 2 - 9 = -7
  • a14 ( i = 1 < j = 4):
    a14 = 2 times 1 - 3 times 4 = 2 - 12 = -10
Linha 2 ( i = 2):
  • a21 ( i = 2 > j = 1):
    a21 = -3 times 2 + 4 times 1 = -6 + 4 = -2
  • a22 ( i = j = 2):
    a22 = 2^2 + 2 times 2 = 4 + 4 = 8
  • a23 ( i = 2 < j = 3):
    a23 = 2 times 2 - 3 times 3 = 4 - 9 = -5
  • a24 ( i = 2 < j = 4):
    a24 = 2 times 2 - 3 times 4 = 4 - 12 = -8
Linha 3 ( i = 3):
  • a31 ( i = 3 > j = 1):
    a31 = -3 times 3 + 4 times 1 = -9 + 4 = -5
  • a32 ( i = 3 > j = 2):
    a32 = -3 times 3 + 4 times 2 = -9 + 8 = -1
  • a33 ( i = j = 3):
    a33 = 3^2 + 2 times 3 = 9 + 6 = 15
  • a34 ( i = 3 < j = 4):
    a34 = 2 times 3 - 3 times 4 = 6 - 12 = -6
Linha 4 ( i = 4):
  • a41 ( i = 4 > j = 1):
    a41 = -3 times 4 + 4 times 1 = -12 + 4 = -8
  • a42 ( i = 4 > j = 2):
    a42 = -3 times 4 + 4 times 2 = -12 + 8 = -4
  • a43 ( i = 4 > j = 3):
    a43 = -3 times 4 + 4 times 3 = -12 + 12 = 0
  • a44 ( i = j = 4):
    a44 = 4^2 + 2 times 4 = 16 + 8 = 24

Resposta

A matriz quadrada A de ordem 4, conforme as condições dadas, é:
A = 3 & -4 & -7 & -10 -2 & 8 & -5 & -8 -5 & -1 & 15 & -6 -8 & -4 & 0 & 24

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