[2 , 5] Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2(R) :
(ll 1 & 0 0 & 1 ),(ll 1 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 1 ),(ll 0 & 1 1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se quatro matrizes 2x2 geram todo o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear. Precisamos ver se, combinando essas quatro matrizes de diferentes maneiras, conseguimos representar qualquer matriz 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gerar a & b c & d . Isso quer dizer que qualquer matriz 2x2 com números reais pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes fornecidas. Em termos matemáticos, queremos encontrar se, para qualquer matriz xA + yB + zC + wD = a & b c & d , existem escalares tais que:
Onde são as matrizes dadas.

Passo 3

Vamos escrever as matrizes fornecidas:
A = 1 & 0 0 & 1 , B = 1 & 1 0 & 0 , C = 0 & 0 1 & 1 , D = 0 & 1 1 & 2
Agora, montamos a combinação linear:
x 1 & 0 0 & 1 + y 1 & 1 0 & 0 + z 0 & 0 1 & 1 + w 0 & 1 1 & 2 = a & b c & d

Passo 4

Vamos distribuir os escalares e somar as matrizes:
x + y & y + w z + w & x + z + 2w = a & b c & d
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x + y = a y + w = b z + w = c x + z + 2w = d

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema para (a - y) + (c - b + y) + 2(b - y) = d a - y + c - b + y + 2b - 2y = d a + c + b - 2y = d 2y = a + c + b - d y = a + b + c - d2 em termos de w = b - a + b + c - d2 = 2b - a - b - c + d2 = b - a - c + d2 .
  1. Da segunda equação: z = c - b + a + b + c - d2 = 2c - 2b + a + b + c - d2 = a - b + 3c - d2
  2. Da terceira equação: x = a - a + b + c - d2 = 2a - a - b - c + d2 = a - b - c + d2
  3. Substituindo na quarta equação:
  1. Agora que temos , podemos encontrar:

Passo 6

Vimos que conseguimos expressar a & b c & d em termos de para qualquer matriz . Isso significa que as matrizes são suficientes para gerar qualquer matriz em .

Resposta

Sim, as matrizes fornecidas geram todo o espaço vetorial .

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