Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se quatro matrizes 2x2 geram todo o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear. Precisamos ver se, combinando essas quatro matrizes de diferentes maneiras, conseguimos representar qualquer matriz 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar . Isso quer dizer que qualquer matriz 2x2 com números reais pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes fornecidas. Em termos matemáticos, queremos encontrar se, para qualquer matriz , existem escalares tais que:
Onde são as matrizes dadas.
Passo 3
Vamos escrever as matrizes fornecidas:
Agora, montamos a combinação linear:
Passo 4
Vamos distribuir os escalares e somar as matrizes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema para (a - y) + (c - b + y) + 2(b - y) = d a - y + c - b + y + 2b - 2y = d a + c + b - 2y = d 2y = a + c + b - d y = a + b + c - d2 em termos de w = b - a + b + c - d2 = 2b - a - b - c + d2 = b - a - c + d2 .
Da segunda equação: z = c - b + a + b + c - d2 = 2c - 2b + a + b + c - d2 = a - b + 3c - d2
Da terceira equação: x = a - a + b + c - d2 = 2a - a - b - c + d2 = a - b - c + d2
Substituindo na quarta equação:
Agora que temos , podemos encontrar:
Passo 6
Vimos que conseguimos expressar a & b c & d em termos de para qualquer matriz . Isso significa que as matrizes são suficientes para gerar qualquer matriz em .
Resposta
Sim, as matrizes fornecidas geram todo o espaço vetorial .