Calcule a equação do plano que passa pelo ponto (2,1,3) e é paralelo ao plano x-2 y+3 z=7.

Passo 1

No enunciado, a gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto (2,1,3) e que é paralelo ao plano x - 2y + 3z = 7. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais. Precisaremos entender o que significa que dois planos sejam paralelos e como usar um ponto e um vetor normal para determinar a equação de um plano.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal de um plano é um vetor que é perpendicular a esse plano e é dado pelos coeficientes das variáveis x, y e z na equação do plano.
No nosso caso, o plano dado é x - 2y + 3z = 7. O vetor normal desse plano é n = (1, -2, 3).

Passo 3

Como queremos encontrar um plano paralelo a esse, o novo plano também terá o mesmo vetor normal n = (1, -2, 3). A equação geral de um plano é dada por:
A x + B y + C z + D = 0
onde (A, B, C) é o vetor normal do plano.

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor de D para o nosso plano. Sabemos que o plano passa pelo ponto (2,1,3). Vamos substituir essas coordenadas na equação geral do plano para encontrar D.
Substituindo x = 2, y = 1 e z = 3 na equação:
1 cdot 2 + (-2) cdot 1 + 3 cdot 3 + D = 0

Passo 5

Vamos calcular os valores:
2 - 2 + 9 + D = 0
Simplificando:
9 + D = 0
Portanto:
D = -9

Resposta

Assim, a equação do plano é:
x - 2y + 3z = 9

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