Responda as questōes abaixo:
Como determinar a dim(Im(T)) quando uma regra explícita para T é apresentada?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Queremos saber como determinar a dimensão da imagem de uma transformação linear quando temos uma regra explícita para . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de transformações lineares e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como calcular sua dimensão, que também é conhecida como posto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear Im(T) = T(v) mid v in V . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser alcançados aplicando a algum vetor de . Em outras palavras:

Passo 3

A dimensão da imagem de , ou , é o número de vetores em uma base para . Isso nos dá uma medida de “quão grande” é a imagem de dentro de .

Passo 4

Para determinar quando temos uma regra explícita para , geralmente seguimos estes passos:
  1. Representar como uma matriz: Se é uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensões finitas, podemos escrevê-la como uma matriz .
  2. Reduzir a matriz a uma forma escalonada: Utilizamos operações de linha para simplificar a matriz.
  3. Contar o número de colunas com pivôs: O número de colunas que contêm os primeiros elementos não nulos (pivôs) na forma escalonada é igual ao posto da matriz, que é igual a .

Passo 5

Vamos detalhar cada um desses passos:
  1. Representar como uma matriz :
    Suponha que seja definida por , onde é uma matriz de dimensão .
  2. Reduzir a matriz a uma forma escalonada:
    Aplicamos eliminação de Gauss para simplificar sem alterar o espaço coluna. Isso nos ajuda a identificar quais colunas são linearmente independentes.
  3. Contar o número de colunas com pivôs:
    O número de pivôs na matriz escalonada representa o posto de , que corresponde à dimensão da imagem de .

Passo 6

Vamos ver um exemplo para ilustrar:
Exemplo: Seja T( x y z ) = x + y y + z definida por
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
  1. Matriz :
  1. Redução de :
A matriz já está em forma escalonada, com pivôs nas posições (1,1) e (2,2).
  1. Contagem de pivôs:
Há 2 pivôs, então .

Resposta

Para determinar a dimensão da imagem de uma transformação linear com uma regra explícita, representamos como uma matriz, reduzimos essa matriz a uma forma escalonada e contamos o número de pivôs. Esse número é a dimensão da imagem de . No exemplo dado, .

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