Seja a cônica
dada pela equação
. Determine sua forma canônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe quer que a gente transforme a equação da cônica
na sua forma canônica. Isso significa que queremos reescrever essa equação de um jeito mais simples, que facilite identificar que tipo de cônica é (parábola, elipse, hipérbole, etc.). Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra envolvendo mudanças de coordenadas e completar o quadrado quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
. Notamos que temos termos de
,
e
. A presença do termo
indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenais. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo de
.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos uma rotação de coordenadas. Vamos rotacionar o sistema de forma que o termo
desapareça. A rotação é feita usando um ângulo
tal que:
Nesse caso, comparando com a equação geral da segunda grau
, temos:
Então:
Isso nos dá o ângulo de rotação
.
Passo 4
Calculando
:
Esse será o ângulo que vamos usar para rotacionar o sistema de coordenadas e eliminar o termo
.
Passo 5
Após a rotação, a nova equação não terá o termo
. Vamos substituir
e
pelas novas coordenadas
e
usando as fórmulas de rotação:
Substituindo esses valores na equação original
e simplificando, conseguiremos uma equação sem o termo
.
Passo 6
Após substituir e simplificar, digamos que a equação resultante seja de uma forma padrão, como por exemplo:
Dependendo dos coeficientes
e
, identificamos o tipo de cônica:
- Se
e têm sinais iguais, é uma elipse. - Se têm sinais opostos, é uma hipérbole.
- Se um dos coeficientes é zero, é uma parábola.
Passo 7
Vamos completar o quadrado para transformar a equação em sua forma canônica. Supondo que após a simplificação, temos algo como:
Rearranjamos para agrupar os termos semelhantes e completar o quadrado para
e
. Isso vai nos levar à forma canônica, onde fica mais fácil ver o tipo da cônica e suas características principais, como centro, vértices, eixos, etc.
Resposta
Após realizar a rotação das coordenadas e simplificar a equação, a forma canônica da cônica
é uma hipérbole dada por:
Onde
e
são constantes que dependem dos coeficientes após a simplificação.