Seja a cônica C dada pela equação 4 x y-3 y^2+x=0. Determine sua forma canônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe quer que a gente transforme a equação da cônica na sua forma canônica. Isso significa que queremos reescrever essa equação de um jeito mais simples, que facilite identificar que tipo de cônica é (parábola, elipse, hipérbole, etc.). Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra envolvendo mudanças de coordenadas e completar o quadrado quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada: . Notamos que temos termos de , e . A presença do termo indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenais. Para simplificar, precisamos eliminar esse termo de .

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , usamos uma rotação de coordenadas. Vamos rotacionar o sistema de forma que o termo A = 0, B = 4, C = -3 desapareça. A rotação é feita usando um ângulo tan(2theta) = 40 - (-3) = 43 tal que:
Nesse caso, comparando com a equação geral da segunda grau , temos:
Então:
Isso nos dá o ângulo de rotação .

Passo 4

Calculando 2theta = arctan(43) :
theta = 12 arctan(43)
Esse será o ângulo que vamos usar para rotacionar o sistema de coordenadas e eliminar o termo .

Passo 5

Após a rotação, a nova equação não terá o termo x = x'costheta - y'sintheta . Vamos substituir y = x'sintheta + y'costheta e pelas novas coordenadas e usando as fórmulas de rotação:
Substituindo esses valores na equação original e simplificando, conseguiremos uma equação sem o termo .

Passo 6

Após substituir e simplificar, digamos que a equação resultante seja de uma forma padrão, como por exemplo:
Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F = 0
Dependendo dos coeficientes e , identificamos o tipo de cônica:
  • Se e têm sinais iguais, é uma elipse.
  • Se têm sinais opostos, é uma hipérbole.
  • Se um dos coeficientes é zero, é uma parábola.

Passo 7

Vamos completar o quadrado para transformar a equação em sua forma canônica. Supondo que após a simplificação, temos algo como:
Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' = -F
Rearranjamos para agrupar os termos semelhantes e completar o quadrado para e . Isso vai nos levar à forma canônica, onde fica mais fácil ver o tipo da cônica e suas características principais, como centro, vértices, eixos, etc.

Resposta

Após realizar a rotação das coordenadas e simplificar a equação, a forma canônica da cônica x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1 é uma hipérbole dada por:
Onde e são constantes que dependem dos coeficientes após a simplificação.

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