Seja
a transformação linear definida por
. Responda às questões abaixo:
Explique porque
muda em função das bases para a mesma
, mencione o termo
Explique porque
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem uma transformação linear
definida por
. A pergunta quer que a gente explique por que a matriz dessa transformação, que a gente chama de
, muda dependendo das bases que a gente escolhe para os espaços de origem e destino. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, matrizes de transformação e como a escolha de bases afeta essa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que leva vetores de um espaço vetorial para outro de maneira que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso,
está levando vetores de
para
.
Passo 3
Agora, para representar essa transformação de forma concreta, usamos uma matriz. A matriz
representa como a transformação
age nos vetores, mas essa representação depende das bases que escolhemos para os espaços de origem (
) e destino (
).
Passo 4
Imagine que você tem diferentes sistemas de coordenadas (bases) para
e
. A matriz
descreve como transformar as coordenadas dos vetores da base
em
para as coordenadas na base
em
. Se você muda as bases
ou
, a maneira como os vetores são representados muda, então a matriz que representa
também muda.
Passo 5
Isso acontece porque a matriz
está intrinsecamente ligada às bases escolhidas. Se você escolher uma base diferente, está essencialmente mudando a “perspectiva” de como
atua nos vetores, o que resulta em uma matriz diferente para representar a mesma transformação linear.
Resposta
A matriz
muda dependendo das bases escolhidas porque a representação da transformação linear depende das bases utilizadas. Esse conceito é conhecido como mudança de base.