Seja T: R^2 R^3 a transformação linear definida por T(x, y)=(-x+3 y, x, 2 x+y). Responda às questões abaixo:
Explique porque [T]B^A muda em função das bases para a mesma T(x, y), mencione o termo

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem uma transformação linear definida por . A pergunta quer que a gente explique por que a matriz dessa transformação, que a gente chama de , muda dependendo das bases que a gente escolhe para os espaços de origem e destino. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, matrizes de transformação e como a escolha de bases afeta essa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que leva vetores de um espaço vetorial para outro de maneira que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, está levando vetores de para .

Passo 3

Agora, para representar essa transformação de forma concreta, usamos uma matriz. A matriz representa como a transformação age nos vetores, mas essa representação depende das bases que escolhemos para os espaços de origem ( ) e destino ( ).

Passo 4

Imagine que você tem diferentes sistemas de coordenadas (bases) para e . A matriz descreve como transformar as coordenadas dos vetores da base em para as coordenadas na base em . Se você muda as bases ou , a maneira como os vetores são representados muda, então a matriz que representa também muda.

Passo 5

Isso acontece porque a matriz está intrinsecamente ligada às bases escolhidas. Se você escolher uma base diferente, está essencialmente mudando a “perspectiva” de como atua nos vetores, o que resulta em uma matriz diferente para representar a mesma transformação linear.

Resposta

A matriz muda dependendo das bases escolhidas porque a representação da transformação linear depende das bases utilizadas. Esse conceito é conhecido como mudança de base.

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