[2.0 pt ] Encontre uma equação para a reta tangente à curva quando

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve uma curva no espaço, e o objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde .
Conteúdo da matéria: Cálculo de derivadas de funções vetoriais e equação da reta tangente a uma curva paramétrica.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a posição da curva no ponto substituindo na função .
  2. Encontrar a derivada da função vetorial para obter a direção da reta tangente.
  3. Avaliar a derivada no ponto .
  4. Usar essas informações para montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da curva quando . Isso significa substituir na função vetorial :
Vamos calcular cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada nos dá a velocidade, ou seja, a direção da reta tangente à curva para qualquer valor de .
A função dada é:
Vamos derivar cada componente em relação a :
  • Derivada da componente :
  • Derivada da componente :
  • Derivada da componente :
Portanto,

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada no ponto :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Assim,

Passo 5

Agora que temos tanto a posição da curva no ponto , que é , quanto a direção da reta tangente , podemos montar a equação da reta tangente.
A equação paramétrica da reta tangente pode ser escrita como:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso pode ser escrito em forma de componentes como:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é:
Ou, em componentes:

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