[2.0 pt ] Encontre uma equação para a reta tangente à curva quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve uma curva no espaço, e o objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde
.
Conteúdo da matéria: Cálculo de derivadas de funções vetoriais e equação da reta tangente a uma curva paramétrica.
O que vamos precisar:
- Calcular a posição da curva no ponto
substituindo na função . - Encontrar a derivada da função vetorial
para obter a direção da reta tangente. - Avaliar a derivada no ponto
. - Usar essas informações para montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da curva quando
. Isso significa substituir
na função vetorial
:
Vamos calcular cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada
nos dá a velocidade, ou seja, a direção da reta tangente à curva para qualquer valor de
.
A função dada é:
Vamos derivar cada componente em relação a
:
-
Derivada da componente
: -
Derivada da componente
: -
Derivada da componente
:
Portanto,
Passo 4
Vamos agora avaliar a derivada
no ponto
:
Calculando cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Assim,
Passo 5
Agora que temos tanto a posição da curva no ponto
, que é
, quanto a direção da reta tangente
, podemos montar a equação da reta tangente.
A equação paramétrica da reta tangente pode ser escrita como:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso pode ser escrito em forma de componentes como:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto onde
é:
Ou, em componentes:
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