Aproxime a soma das séries para a precisão indicada. sumn=1^infty (-1)^n-1(2 n-1)! (quatro casas decimais)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita para aproximar a soma com precisão de quatro casas decimais. A série é:
sumn=1^infty (-1)^n-1(2n-1)!
A matéria que vamos usar aqui é de séries e convergência, especificamente séries alternadas. Vamos precisar somar os termos dessa série até que a aproximação esteja boa o suficiente para ter a precisão que a gente quer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender se essa série converge. Como os termos têm sinais alternados devido ao e o denominador está crescendo muito rápido por causa do fatorial , a série converge pelo Teste da Série Alternada. Isso significa que podemos somar os termos e chegar a um valor finito.

Passo 3

Para aproximar a soma com quatro casas decimais, precisamos somar os termos até que o valor absoluto do próximo termo seja menor que . Isso garante que o erro na soma não altere a quarta casa decimal.

Passo 4

Vamos começar a somar os termos um a um:
  1. n = 1:
    (-1)^1-1(2 times 1 -1)! = 11! = 1
    Soma parcial: 1.0000
  2. n = 2:
    (-1)^2-1(2 times 2 -1)! = -13! = -16 approx -0.1667
    Soma parcial: (-1)^3-1(2 times 3 -1)! = 15! = 1120 approx 0.0083
  3. n = 3:
    (-1)^4-1(2 times 4 -1)! = -17! = -15040 approx -0.0002
    Soma parcial: (-1)^5-1(2 times 5 -1)! = 19! = 1362880 approx 0.000003
  4. n = 4:
    Soma parcial:
Agora, vamos verificar se o próximo termo será menor que :
  1. n = 5: Como , podemos parar aqui.

Resposta

A aproximação da soma da série é 0.8414.

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