(1,25 pontos) Seja F: I R^3 I R^3 dada por F=K x imath+K y jmath+K z k ao longo da curva C subset I R^3 da intersecção da esfera (x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=a^2 e do plano x-z=0. Calcule ointC F d r.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos um campo vetorial , onde é uma constante, e queremos calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva . A curva é a intersecção de uma esfera dada por e do plano . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre zero.

Passo 3

Para verificar se nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z )imath + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x )jmath + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )k é conservativo, calculamos o rotacional de partial Rpartial y = partial (Kz)partial y = 0 . O rotacional de um campo vetorial partial Qpartial z = partial (Ky)partial z = 0 é dado por:
partial Ppartial z = partial (Kx)partial z = 0
Para o nosso campo partial Rpartial x = partial (Kz)partial x = 0 :
partial Qpartial x = partial (Ky)partial x = 0
partial Ppartial y = partial (Kx)partial y = 0
nabla times F = (0 - 0)imath + (0 - 0)jmath + (0 - 0)k = 0
Portanto:
Como o rotacional de é zero, o campo é conservativo.

Passo 4

Sabendo que ointC F cdot dr = 0 é um campo conservativo, podemos aplicar a propriedade de que a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é igual a zero. Matemáticamente:

Resposta

ointC F cdot dr = 0

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