pontos) Seja
dada por
ao longo da curva
da intersecção da esfera
do plano
. Calcule
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos um campo vetorial
, onde
é uma constante, e queremos calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva
. A curva
é a intersecção de uma esfera dada por
e do plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre zero.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, calculamos o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Para o nosso campo
:
Portanto:
Como o rotacional de
é zero, o campo é conservativo.
Passo 4
Sabendo que
é um campo conservativo, podemos aplicar a propriedade de que a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é igual a zero. Matemáticamente: