[2 Pontos] Integrais triplas podem ser utilizados para calcular massa de sólidos. Se o sólido possui densidade
em cada um dos seus pontos
(massa por unidade de volume), a sua massa total
é dada pela integral
Calcular a massa do sólido compreendido entre duas esferas concêntricas de raios
e
com
, se a densidade em cada ponto for igual ao quadrado da distância deste ponto ao centro.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a massa de um sólido que está entre duas esferas concêntricas com raios
e
(onde
). A densidade em cada ponto desse sólido é igual ao quadrado da distância desse ponto ao centro. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a densidade
em coordenadas esféricas. A distância de um ponto
ao centro é simplesmente
em coordenadas esféricas. Então, a densidade fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral tripla para a massa
usando coordenadas esféricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
. Assim, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos integrar em relação a
primeiro. A integral de
de
a
é:
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a
. A integral de
de
a
é:
Passo 6
Por último, integramos em relação a
. A integral de
de
a
é:
Resposta
A massa do sólido é: