[2 Pontos] Integrais triplas podem ser utilizados para calcular massa de sólidos. Se o sólido possui densidade rho(x, y, z) em cada um dos seus pontos (x, y, z) (massa por unidade de volume), a sua massa total M é dada pela integral
M=integral triplaE rho(x, y, z) d V
Calcular a massa do sólido compreendido entre duas esferas concêntricas de raios a e b( com 0, se a densidade em cada ponto for igual ao quadrado da distância deste ponto ao centro.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a massa de um sólido que está entre duas esferas concêntricas com raios a e b (onde 0 < a < b). A densidade em cada ponto desse sólido é igual ao quadrado da distância desse ponto ao centro. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a densidade rho(x, y, z) em coordenadas esféricas. A distância de um ponto (x, y, z) ao centro é simplesmente r em coordenadas esféricas. Então, a densidade fica:
rho(r) = r^2

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral tripla para a massa M usando coordenadas esféricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta. Assim, a integral fica:
M = integral triplaE rho(r) , dV = integral0^2pi integral0^pi integrala^b r^2 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
M = integral0^2pi integral0^pi integrala^b r^4 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 4

Vamos integrar em relação a r primeiro. A integral de r^4 de a a b é:
integrala^b r^4 , dr = [ r^55 ]a^b = b^5 - a^55

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a phi. A integral de sin phi de 0 a pi é:
integral0^pi sin phi , dphi = 2

Passo 6

Por último, integramos em relação a theta. A integral de 1 de 0 a 2pi é:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

A massa do sólido é:
M = 2pi (b^5 - a^5)5

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