Seja f: A (1,10] dada por f(x)=4-11 x4-2 x.
Determine A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O que a gente precisa descobrir aqui é o conjunto , ou seja, todos os valores de que a função pode receber para que esteja no intervalo aberto de 1 até 10, incluindo o 10. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de domínio de funções e resolver algumas desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função esteja bem definida. Isso significa que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, vamos encontrar os valores de 4 - 2x neq 0 que tornam o denominador zero:
-2x neq -4 x neq 2
Resolvendo para :
Então, está excluído do domínio.

Passo 3

Agora, queremos que 1 < 4 - 11x4 - 2x <= 10 esteja entre 1 e 10, ou seja:
Vamos resolver essa desigualdade composta em duas partes: e .

Passo 4

Primeiro, vamos resolver 4 - 11x4 - 2x - 1 > 0 4 - 11x - (4 - 2x)4 - 2x > 0 -9x4 - 2x > 0 .
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, analisamos onde essa fração é positiva. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal.
  • quando
  • quando
Então, a fração é positiva quando .

Passo 5

Agora, vamos resolver 4 - 11x4 - 2x - 10 <= 0 4 - 11x - 10(4 - 2x)4 - 2x <= 0 4 - 11x - 40 + 20x4 - 2x <= 0 9x - 364 - 2x <= 0 .
Primeiro, subtraímos 10 de ambos os lados:
9(x - 4)4 - 2x <= 0
Podemos fatorar o numerador:
9(x - 4)-2(x - 2) <= 0 -(x - 4)2(x - 2) <= 0
Simplificando o denominador:
Agora, analisamos os sinais:
  • Numerador: é positivo quando e negativo quando
  • Denominador: é positivo quando e negativo quando
A fração será negativa ou zero quando os sinais forem opostos ou quando o numerador for zero.
Portanto, a solução dessa parte é ou .

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes das desigualdades:
  • De , obtivemos
  • De , obtivemos ou
Para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos encontrar a interseção dessas soluções.
A interseção entre e é .
Então, o conjunto é todos os números menores que 0, excluindo (mas como 2 não está nesse intervalo, não precisamos nos preocupar).

Resposta

O conjunto é .

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