Seja
dada por
.
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. O que a gente precisa descobrir aqui é o conjunto
, ou seja, todos os valores de
que a função pode receber para que
esteja no intervalo aberto de 1 até 10, incluindo o 10. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de domínio de funções e resolver algumas desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função esteja bem definida. Isso significa que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, vamos encontrar os valores de
que tornam o denominador zero:
Resolvendo para
:
Então,
está excluído do domínio.
Passo 3
Agora, queremos que
esteja entre 1 e 10, ou seja:
Vamos resolver essa desigualdade composta em duas partes:
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver
.
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, analisamos onde essa fração é positiva. Isso acontece quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal.
-
quando -
quando
Então, a fração é positiva quando
.
Passo 5
Agora, vamos resolver
.
Primeiro, subtraímos 10 de ambos os lados:
Podemos fatorar o numerador:
Simplificando o denominador:
Agora, analisamos os sinais:
- Numerador:
é positivo quando e negativo quando - Denominador:
é positivo quando e negativo quando
A fração será negativa ou zero quando os sinais forem opostos ou quando o numerador for zero.
Portanto, a solução dessa parte é
ou
.
Passo 6
Agora, juntamos as duas partes das desigualdades:
- De
, obtivemos - De
, obtivemos ou
Para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos encontrar a interseção dessas soluções.
A interseção entre
e
é
.
Então, o conjunto
é todos os números menores que 0, excluindo
(mas como 2 não está nesse intervalo, não precisamos nos preocupar).
Resposta
O conjunto
é
.