Sejam
e
.
Quantas funções bijetoras
existem? Descreva cada uma delas.
Quantas funções bijetoras
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
A pergunta é: Quantas funções bijetoras
existem? Descreva cada uma delas.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções bijetoras entre dois conjuntos.
O que precisamos para resolver:
- Entender o que é uma função bijetora.
- Verificar se é possível que exista uma função bijetora entre
e . - Se for possível, contar quantas existem e descrevê-las.
Passo 2
O que é uma função bijetora?
Uma função bijetora é uma função que é injeção e sobrecção ao mesmo tempo.
-
Injeção: Cada elemento de
mapeia para um elemento único em . Ou seja, não há dois elementos diferentes em que apontam para o mesmo elemento em . -
Sobrecção: Todo elemento de
é atingido por pelo menos um elemento de . Ou seja, não sobra nenhum elemento em que não seja imagem de algum elemento de .
Importante: Para que uma função bijetora exista entre
e
, os dois conjuntos devem ter a mesma quantidade de elementos.
Passo 3
Vamos contar os elementos de cada conjunto:
-
(temos 3 elementos) -
(temos 4 elementos)
Análise:
Para existir uma função bijetora entre
e
, os conjuntos precisam ter o mesmo número de elementos. Por quê?
- Se
, não conseguimos cobrir todos os elementos de sem repetir imagens, o que violaria a injeção. - Se
, precisaríamos que pelo menos dois elementos de apontassem para o mesmo elemento de , o que violaria a sobrejeção.
No nosso caso,
e
. Como
, não é possível que exista uma função bijetora de
para
.
Resposta
Não existem funções bijetoras
quando
e
.