Sejam S=1,2,3 e T=a, b, c, d.
Quantas funções bijetoras f: S T existem? Descreva cada uma delas.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
A pergunta é: Quantas funções bijetoras existem? Descreva cada uma delas.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com funções bijetoras entre dois conjuntos.
O que precisamos para resolver:
  • Entender o que é uma função bijetora.
  • Verificar se é possível que exista uma função bijetora entre e .
  • Se for possível, contar quantas existem e descrevê-las.

Passo 2

O que é uma função bijetora?
Uma função bijetora é uma função que é injeção e sobrecção ao mesmo tempo.
  • Injeção: Cada elemento de mapeia para um elemento único em . Ou seja, não há dois elementos diferentes em que apontam para o mesmo elemento em .
  • Sobrecção: Todo elemento de é atingido por pelo menos um elemento de . Ou seja, não sobra nenhum elemento em que não seja imagem de algum elemento de .
Importante: Para que uma função bijetora exista entre e , os dois conjuntos devem ter a mesma quantidade de elementos.

Passo 3

Vamos contar os elementos de cada conjunto:
  • (temos 3 elementos)
  • (temos 4 elementos)
Análise:
Para existir uma função bijetora entre e , os conjuntos precisam ter o mesmo número de elementos. Por quê?
  • Se , não conseguimos cobrir todos os elementos de sem repetir imagens, o que violaria a injeção.
  • Se , precisaríamos que pelo menos dois elementos de apontassem para o mesmo elemento de , o que violaria a sobrejeção.
No nosso caso, e . Como , não é possível que exista uma função bijetora de para .

Resposta

Não existem funções bijetoras quando e .

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