Estude a posição relativa entre as seguintes retas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção. Caso não sejam concorrentes ou coincidentes, calcule a distância. r:ly=3 x-1 z=2 x+1 e s: y & =4 x-2 z & =3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar como duas retas estão posicionadas no espaço. A gente vai ver se elas se cruzam em algum ponto (são concorrentes) ou se ficam separadas umas das outras. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma que possamos comparar os parâmetros facilmente. As retas são dadas assim:
Para a reta r:
y = 3x - 1 z = 2x + 1
Para a reta s:
y = 4x - 2 z = 3x
Vamos assumir que x é o parâmetro para ambas as retas. Então, podemos expressar as retas de forma paramétrica.

Passo 3

Vamos reescrever as equações das retas usando um parâmetro, digamos t para a reta r e s para a reta s.
Para a reta r:
x = t y = 3t - 1 z = 2t + 1
Para a reta s:
x = s y = 4s - 2 z = 3s

Passo 4

Agora, vamos tentar descobrir se existe um ponto que pertence às duas retas ao mesmo tempo. Isso significa que devemos encontrar valores de t e s que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.
Igualando as coordenadas x, temos:
t = s
Igualando as coordenadas y:
3t - 1 = 4s - 2
Como 3t - 1 = 4t - 2 -1 + 2 = 4t - 3t 1 = t , podemos substituir:
z = 2(1) + 1 = 3
Agora, substituindo t = 1 na equação de z:
Para a reta r:
z = 3(1) = 3
Para a reta s:

Passo 5

Como encontramos um valor de t (e portanto de s) que satisfaz todas as equações, isso significa que as duas retas se cruzam no ponto correspondente a t = 1.

Resposta

As retas r e s são concorrentes e se intersectam no ponto .

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