[2.5 pontos] Dada a sequência , forneça uma fórmula ou regra que determina os seus termos e, assumindo que sua fórmula/regra esteja correta, especifique os três próximos termos da sequência.
Uma fórmula que define os termos da sequência é , com . Assim os próximos três termos da sequência são: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma sequência de números com radicais e quer descobrir uma fórmula que descreva cada termo dessa sequência. Além disso, precisamos usar essa fórmula para encontrar os três próximos termos. Isso está ligado à álgebra, mais especificamente à análise de sequências e padrões.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a sequência que você me deu:
Vemos que cada termo é uma raiz quadrada de uma fração. Vamos analisar separadamente o numerador e o denominador para encontrar um padrão.
Passo 3
Observando os numeradores:
Eles aumentam de 1 em 1, ou seja, o numerador do n-ésimo termo é simplesmente .
Passo 4
Agora, olhando para os denominadores:
Vamos ver a diferença entre os termos consecutivos:
Notamos que as diferenças aumentam de 2 em 2. Isso sugere que o denominador está seguindo uma sequência quadrática.
Passo 5
Vamos tentar expressar o denominador em termos de . Sabemos que uma sequência quadrática pode ser escrita como:
Usando os valores que temos para :
Resolvendo esse sistema, encontramos que , e . Portanto, o denominador pode ser expresso como:
Passo 6
Com isso, podemos escrever a fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência:
Mas, para deixar mais claro, podemos reescrever isso como:
Ambas as formas são válidas e representam o mesmo valor.
Passo 7
Agora, vamos usar essa fórmula para encontrar os três próximos termos da sequência. Já temos até , então vamos calcular para .
Para :
Para :
Para :
Resposta
A fórmula que determina os termos da sequência é para . Os três próximos termos da sequência são: