[2.5 pontos] Dada a sequência raiz(1/2), raiz(2/5), raiz(3/10), raiz(4/17), raiz(5/26), ..., forneça uma fórmula ou regra que determina os seus termos e, assumindo que sua fórmula/regra esteja correta, especifique os três próximos termos da sequência.
Uma fórmula que define os termos da sequência é f(n) = n / raiz(n^2 + 1), com n ≥ 1. Assim os próximos três termos da sequência são: raiz(6 / 37), raiz(7 / 50) e raiz(8 / 65).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma sequência de números com radicais e quer descobrir uma fórmula que descreva cada termo dessa sequência. Além disso, precisamos usar essa fórmula para encontrar os três próximos termos. Isso está ligado à álgebra, mais especificamente à análise de sequências e padrões.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a sequência que você me deu:
Vemos que cada termo é uma raiz quadrada de uma fração. Vamos analisar separadamente o numerador e o denominador para encontrar um padrão.

Passo 3

Observando os numeradores:
Eles aumentam de 1 em 1, ou seja, o numerador do n-ésimo termo é simplesmente .

Passo 4

Agora, olhando para os denominadores:
Vamos ver a diferença entre os termos consecutivos:
Notamos que as diferenças aumentam de 2 em 2. Isso sugere que o denominador está seguindo uma sequência quadrática.

Passo 5

Vamos tentar expressar o denominador em termos de . Sabemos que uma sequência quadrática pode ser escrita como:
Usando os valores que temos para :
Resolvendo esse sistema, encontramos que , e . Portanto, o denominador pode ser expresso como:

Passo 6

Com isso, podemos escrever a fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência:
Mas, para deixar mais claro, podemos reescrever isso como:
Ambas as formas são válidas e representam o mesmo valor.

Passo 7

Agora, vamos usar essa fórmula para encontrar os três próximos termos da sequência. Já temos até , então vamos calcular para .
Para :
Para :
Para :

Resposta

A fórmula que determina os termos da sequência é para . Os três próximos termos da sequência são:

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