Sejam C1 o arco da parábola y=1-x^2 no plano x y compreendido entre os pontos (-1,0) e (1,0), e C2 o segmento de reta que liga estes mesmos pontos. Considere o campo vetorial dado por
F(x, y)=(y^2+1, y e^y^2+k x y)
Aqui, k é uma constante.
(a) (2,0 pts) Seja gamma a curva fechada obtida unindo C1 e C2, orientada positivamente. Use o teorema de Green para calcular integralgamma F cdot d r.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma curva fechada gamma formada pelo arco da parábola y=1-x^2 entre os pontos (-1,0) e (1,0), chamada C1, e pelo segmento de reta C2 que liga esses mesmos pontos. O campo vetorial dado é F(x, y)=(y^2+1, , y e^y^2+kxy), onde k é uma constante. Vamos utilizar o Teorema de Green para calcular a integral de linha integralgamma F cdot d r.

Passo 2

Teorema de Green: Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, é dado por:
ointgamma F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
onde F = (P, Q) e D é a região interior à curva gamma.

Passo 3

Identificando P e Q: No nosso caso, temos:
P = y^2 + 1 Q = y e^y^2 + kxy

Passo 4

Calculando as Derivadas Parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x ( y e^y^2 + kxy ) = ky partial Ppartial y = partialpartial y ( y^2 + 1 ) = 2y

Passo 5

Substituindo no Teorema de Green:
ointgamma F cdot dr = integral duplaD ( ky - 2y ) dx,dy = integral duplaD y(k - 2) , dx,dy
Podemos fatorar (k - 2):
= (k - 2) integral duplaD y , dx,dy

Passo 6

Definindo os Limites de Integração:
A região D está delimitada pela parábola y = 1 - x^2 e pelo eixo x (onde y = 0), para x variando de -1 a 1. Portanto:
integral duplaD y , dx,dy = integralx=-1^1 integraly=0^1 - x^2 y , dy,dx

Passo 7

Calculando a Integral Interna:
integraly=0^1 - x^2 y , dy = [ y^22 ]0^1 - x^2 = (1 - x^2)^22

Passo 8

Integrando em Relação a x:
integral duplaD y , dx,dy = 12 integral-1^1 (1 - x^2)^2 , dx
Expandindo (1 - x^2)^2:
= 12 integral-1^1 (1 - 2x^2 + x^4) dx
Observe que a função é par, então podemos simplificar:
= 12 times 2 integral0^1 (1 - 2x^2 + x^4) dx = integral0^1 (1 - 2x^2 + x^4) dx

Passo 9

Calculando a Integral:
integral0^1 (1 - 2x^2 + x^4) dx = [ x - 23x^3 + 15x^5 ]0^1 = 1 - 23 + 15 = 1515 - 1015 + 315 = 815

Passo 10

Finalizando a Integral de Linha:
ointgamma F cdot dr = (k - 2) times 815 = 8(k - 2)15

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac8(k - 2)15.

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