Sejam
o arco da parábola
no plano
compreendido entre os pontos
e
, e
o segmento de reta que liga estes mesmos pontos. Considere o campo vetorial dado por
Aqui,
é uma constante.
(a) (2,0 pts) Seja
a curva fechada obtida unindo
e
, orientada positivamente. Use o teorema de Green para calcular
.
(a) (2,0 pts) Seja
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos uma curva fechada
formada pelo arco da parábola
entre os pontos
e
, chamada
, e pelo segmento de reta
que liga esses mesmos pontos. O campo vetorial dado é
, onde
é uma constante. Vamos utilizar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
.
Passo 2
Teorema de Green: Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, é dado por:
onde
e
é a região interior à curva
.
Passo 3
Identificando
e
: No nosso caso, temos:
Passo 4
Calculando as Derivadas Parciais:
Passo 5
Substituindo no Teorema de Green:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Definindo os Limites de Integração:
A região está delimitada pela parábola
e pelo eixo
(onde
), para
variando de
a
. Portanto:
A região
Passo 7
Calculando a Integral Interna:
Passo 8
Integrando em Relação a
:
Expandindo
:
Observe que a função é par, então podemos simplificar:
Passo 9
Calculando a Integral:
Passo 10
Finalizando a Integral de Linha:
Resposta
A integral de linha é igual a
.